مثال: دو مثلث زیر هم نهشت هستند. مقادیر مجهول را مشخص کنید؟ [شکل: دو مثلث که زوایای یکی برابر با ۸۵ و ۶۵ درجه و ضلع آن ۱۴ است و مثلث دیگر دارای ضلع x و زاویه y می باشد]

الف) اگر دو مثلث به هم چسبیده باشند دارای ضلع مشترک هستند. ب) اگر دو مثلث به صورت ضربدری باشند دارای زاویه متقابل به راس هستند. ج) اگر دو مثلث داخل دایره باشند از برابری شعاع دایره استفاده می‌کنیم. د) در مثلث متساوی الاضلاع هر سه ضلع و هر سه زاویه برابرند. ه) در مثلث متساوی الساقین دو ساق و دو زاویه مجاور قاعده برابرند.

مثال: ثابت کنید زاویه ی خارجی مثلث برابر است با مجموع دو زاویه ی داخلی غیر مجاور آن. فرض: $\hat{A}_{\text{r}}$ زاویه ی خارجی مثلث حکم: $\hat{A}_{\text{r}} = \hat{B} + \hat{C}$ $\left. \begin{matrix} \hat{A}_{\text{r}} + \hat{A}_{\text{r}} = 180^{\circ} \\ \hat{A}_{\text{r}} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \hat{A}_{\text{r}} + \hat{A}_{\text{r}} = \hat{A}_{\text{r}} + \hat{B} + \hat{C} \Rightarrow \hat{A}_{\text{r}} = \hat{B} + \hat{C}$ [شکل: مثلث ABC که امتداد ضلع AB خطی به نام x تشکیل داده و زاویه خارجی A2 را ایجاد کرده است]

مثال: ثابت کنید زاویه های متقابل به راس با هم برابرند. فرض: $\hat{O}_{\text{r}}$ و $\hat{O}_{\text{r}}$ دو زاویه متقابل به راس حکم: $\hat{O}_{\text{r}} = \hat{O}_{\text{r}}$ $\left. \begin{matrix} \hat{O}_{\text{r}} + \hat{O}_{\text{r}} = 180^{\circ} \\ \hat{O}_{\text{r}} + \hat{O}_{\text{r}} = 180^{\circ} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \hat{O}_{\text{r}} + \hat{O}_{\text{r}} = \hat{O}_{\text{r}} + \hat{O}_{\text{r}} \Rightarrow \hat{O}_{\text{r}} = \hat{O}_{\text{r}}$ [شکل: دو خط متقاطع که چهار زاویه O1, O2, O3, O4 را ایجاد کرده‌اند]