برای بررسی اینکه آیا \( \sqrt{5} - 1 \) یک عدد گویا است یا خیر، ابتدا باید درک کنیم که یک عدد گویا به عددی گفته میشود که میتواند به صورت \( \frac{p}{q} \) نوشته شود، که در آن \( p \) و \( q \) اعداد صحیح هستند و \( q \neq 0 \).
اجازه دهید \( x = \sqrt{5} - 1 \) باشد. برای اینکه این عدد گویا باشد، ما باید نشان دهیم که \( \sqrt{5} \) را میتوان به صورت یک کسر نوشت.
1. ابتدا به \( \sqrt{5} \) نگاه میکنیم. اگر بتوانیم نشان دهیم که \( \sqrt{5} \) عدد گویا نیست، آنگاه \( \sqrt{5} - 1 \) هم به تبع آن عددی گویا نخواهد بود.
2. فرض کنید \( \sqrt{5} \) عددی گویا است، یعنی میتوان آن را به صورت \( \frac{p}{q} \) نوشت.
3. با مربع کردن هر دو طرف داریم:
\[
5 = \left(\frac{p}{q}\right)^2
\]
که به معنای زیر است:
\[
5q^2 = p^2
\]
این نشان میدهد که \( p^2 \) مضرب 5 است، به معنای آنکه \( p \) خود نیز مضرب 5 است (چرا که 5 یک عدد اول است).
4. بگذارید \( p = 5k \) برای یک عدد صحیح \( k \). حال آن را جایگزین میکنیم:
\[
5q^2 = (5k)^2
\]
که منجر به:
\[
5q^2 = 25k^2
\]
و این به ما میدهد:
\[
q^2 = 5k^2
\]
که به این معناست که \( q^2 \) نیز مضرب 5 است و بنابراین \( q \) نیز مضرب 5 است.
5. حال ما به تناقضی میرسیم، چرا که این نشان میدهد \( p \) و \( q \) هر دو مضرب 5 هستند و بنابراین نمیتوانند کسر کمینهای باشند.
از این رو، میتوان نتیجه گرفت که \( \sqrt{5} \) عددی گویا نیست. بنابراین:
\[
\sqrt{5} - 1
\]
هم عددی گویا نیست.
**پاسخ نهایی:** خیر، \( \sqrt{5} - 1 \) گویا نیست.