برای ثابت کردن این موضوع، ابتدا باید تعاریف و خواص هندسی مربوط به زاویهها و اضلاع عمود را مرور کنیم.
دو زاویه در صورتی مکمل بوده و یا مساوی هستند که:
1. **مکمل بودن دو زاویه**: دو زاویه \( A \) و \( B \) مکمل هستند اگر مجموع آنها برابر با \( 90^\circ \) باشد. یعنی \( A + B = 90^\circ \).
2. **مساوی بودن دو زاویه**: دو زاویه \( A \) و \( B \) مساوی هستند اگر \( A = B \).
حالا فرض میکنیم که دو زاویه \( \angle X \) و \( \angle Y \) داریم که اضلاع آنها به صورت دوبهدوب به هم عمود هستند. این بدان معناست که اگر اضلاع \( \angle X \) را با \( a \) و \( b \) و اضلاع \( \angle Y \) را با \( c \) و \( d \) نشان دهیم، آنگاه داریم:
- \( a \perp c \)
- \( b \perp d \)
چون اضلاع \( a \) و \( b \) بر هم عمود هستند، زاویه \( \angle X \) برابر با \( 90^\circ \) میشود. به همین ترتیب، از آنجایی که اضلاع \( c \) و \( d \) هم بر هم عمود هستند، زاویه \( \angle Y \) نیز برابر با \( 90^\circ \) میشود.
اکنون، فرضکنیم که زاویههای \( \angle X \) و \( \angle Y \) یا برابر باشند یا مجموع آنها \( 90^\circ \) باشد.
1. اگر \( \angle X = \angle Y \): در این صورت، ثابت کردیم که دو زاویه مساوی هستند.
2. اگر \( \angle X \neq \angle Y \): با توجه به اینکه هر دو زاویه \( 90^\circ \) هستند، امکان ندارد که یکی از آنها به تنهایی بتواند مکمل زاویه دیگری باشد بدون اینکه مجموع آنها برابر با \( 90^\circ \) نشود. بنابراین نمیتوانند مکمل یکدیگر باشند.
نتیجهگیری: اگر اضلاع دو زاویه دوبهدوب بر هم عمود باشند، باید یکی از حالات زیر برقرار باشد:
- زاویهها مساوی هستند (اگر هر دو زاویه \( 90^\circ \) را جابجا کنیم)
- یا مجموع آنها به \( 90^\circ \) برسد که تناقض است، زیرا هر دو زاویه \( 90^\circ \) هستند.
بنابراین، ثابت کردیم که اگر اضلاع دو زاویه دوبهدوب بر هم عمود باشند، آنگاه آن دو زاویه یا مساوی هستند یا مکمل.
