برای حل این سوال ابتدا باید مرکز بازه [4 - 2n, 5 + n] را پیدا کنیم. برای محاسبه مرکز بازه، فرمول زیر را به کار میبریم:
\[
\text{مرکز} = \frac{a + b}{2}
\]
که در اینجا \( a = 4 - 2n \) و \( b = 5 + n \) است. پس داریم:
\[
\text{مرکز} = \frac{(4 - 2n) + (5 + n)}{2} = \frac{9 - n}{2}
\]
حالا به این موضوع میپردازیم که این بازه شامل چند عدد طبیعی میشود. طول بازه را بدست میآوریم:
\[
\text{طول بازه} = (5 + n) - (4 - 2n) = 5 + n - 4 + 2n = 1 + 3n
\]
حال برای اینکه این بازه حداقل \( n \) عدد طبیعی را شامل شود، باید طول بازه حداقل \( n \) باشد:
\[
1 + 3n \geq n
\]
از این نامساوی، ابتدا \( n \) را از دو طرف کم میکنیم:
\[
1 + 3n - n \geq 0 \implies 1 + 2n \geq 0
\]
این نامساوی با هر عدد طبیعی \( n \) برقرار است؛ زیرا \( 1 + 2n \) برای هر \( n \geq 0 \) مثبت است. از این رو، مهم این است که حداقل n عدد طبیعی در این بازه وجود داشته باشد. برای پیدا کردن کمترین مقدار طبیعی \( n \) که این شرط را برآورده کند، باید حتماً \( n \) را طوری انتخاب کنیم که بازه شامل حداقل \( n \) عدد طبیعی باشد.
حالا میخواهیم حداقل \( n \) عدد طبیعی در بازه وجود داشته باشد. از آنجایی که طول بازه از \( 1 + 3n \) بیشتر از \( n \) است، میتوانیم بررسی کنیم:
\[
1 + 3n \geq n \implies 1 + 2n \geq 0 \quad (این همیشه برقرار است)
\]
حالا اگر بخواهیم بدست آوریم که در چه زمانی حداقل \( n \) عدد طبیعی را دارا میباشد:
برای \( n = 1 \):
طول بازه = \( 1 + 3 \cdot 1 = 4 \) و بازه، [2, 6] است. این بازه 5 عدد طبیعی (2، 3، 4، 5، 6) شامل میشود.
اگر \( n = 2 \):
طول بازه = \( 1 + 3 \cdot 2 = 7 \) و بازه، [0, 7] است. این بازه 8 عدد طبیعی (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7) شامل میشود.
بنابراین کمترین مقدار طبیعی \( n \) که ما را به جواب میرساند \( n = 1 \) است.
حالا اختلاف کمترین مقدار طبیعی \( n \) (که برابر 1 است) با مرکز بازه (\(\frac{9 - n}{2}\) برای \( n=1 \)) را محاسبه میکنیم:
مرکز = \(\frac{9 - 1}{2} = 4\)
پس اختلاف برابر میشود با:
\[
\text{اختلاف} = n - \text{مرکز} = 1 - 4 = -3
\]
بنابراین جواب نهایی:
اختلاف معادل \(-3\) است.
