برای یافتن مجموعه اعداد طبیعی کمتر از ۱۰۰ که دقیقا سه شمارنده مثبت دارند، ابتدا باید بدانیم که چه نوع اعدادی چنین ویژگیای دارند.
یک عدد طبیعی که دقیقا سه شمارنده مثبت دارد، به صورت زیر تجزیه میشود:
- این عدد باید به صورت \( p^2 \) باشد، که در آن \( p \) یک عدد اول است. چرا؟ زیرا شمارندههای یک عدد \( n \) که به صورت \( p^k \) تجزیه میشود، برابر \( k + 1 \) خواهد بود. پس اگر این عدد به صورت \( p^2 \) باشد، شمارندههای آن برابر \( 2 + 1 = 3 \) خواهد بود.
حال باید اعداد مربعی که کمتر از ۱۰۰ هستند را جستجو کنیم:
1. \( 2^2 = 4 \)
2. \( 3^2 = 9 \)
3. \( 5^2 = 25 \)
4. \( 7^2 = 49 \)
5. \( 11^2 = 121 \) (بیشتر از ۱۰۰ است)
بنابراین، مجموعه اعداد طبیعی کمتر از ۱۰۰ که دقیقا سه شمارنده مثبت دارند، شامل اعداد زیر است:
- \( 4 \)
- \( 9 \)
- \( 25 \)
- \( 49 \)
پس پاسخ نهایی:
\[ \{ 4, 9, 25, 49 \} \]
