برای حل این سوال، ابتدا عبارت داخل کسر را بررسی میکنیم:
\[
\frac{10^{-2} \times 2^{-2} \times 25}{8^{-2}}
\]
### مرحله اول: سادهسازی کسر
به یاد داشته باشید که \(\frac{a^{-b}}{c^{-d}} = \frac{c^{d}}{a^{b}}\). بنابراین میتوانیم عبارت را به صورت زیر بنویسیم:
\[
= 10^{-2} \times 2^{-2} \times 25 \times 8^{2}
\]
### مرحله دوم: محاسبه \(8^{2}\)
از آنجا که \(8 = 2^3\) داریم:
\[
8^{2} = (2^3)^{2} = 2^{3 \times 2} = 2^{6}
\]
حال میتوانیم عبارت را به شکل زیر بنویسیم:
\[
= 10^{-2} \times 2^{-2} \times 25 \times 2^{6}
\]
### مرحله سوم: سادهسازی
از آنجا که \(25 = 5^2\) و همچنین میدانیم که \(10 = 2 \times 5\) پس میتوانیم بنویسیم:
\[
10^{-2} = (2 \times 5)^{-2} = 2^{-2} \times 5^{-2}
\]
حالا عبارت را مجدداً مینویسیم:
\[
= (2^{-2} \times 5^{-2}) \times 2^{-2} \times 5^{2} \times 2^{6}
\]
### مرحله چهارم: جمع کردن توانها
حالا میتوانیم توانهای مربوط به \(2\) و \(5\) را جمع کنیم.
برای \(2\):
\[
-2 + (-2) + 6 = -4 + 6 = 2
\]
و برای \(5\):
\[
-2 + 2 = 0
\]
### مرحله پنجم: نتیجه نهایی
حالا میتوانیم عبارت نهایی را بنویسیم:
\[
2^{2} \times 5^{0} = 2^{2} \times 1 = 2^{2}
\]
بنابراین پاسخ نهایی به صورت عدد توان دار:
\[
\boxed{2^{2}}
\]
