**سوال ۱۱:**
برای حل این سوال باید دو تابع \( f(x) = |x| \) و \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \) را در نظر بگیریم.
1. ابتدا مقدار \( f(1 - \sqrt{3}) \) را پیدا میکنیم:
\[
f(1 - \sqrt{3}) = |1 - \sqrt{3}|
\]
چون \( 1 - \sqrt{3} \) منفی است، پس داریم:
\[
f(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1
\]
2. سپس مقدار \( g(f(1 - \sqrt{3})) = g(\sqrt{3} - 1) \) را محاسبه میکنیم:
\[
g(x) = (x+1)^2
\]
بنابراین:
\[
g(\sqrt{3} - 1) = ((\sqrt{3} - 1) + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3
\]
3. حالا مقدار \( g(1 - \sqrt{3}) \) را محاسبه میکنیم:
\[
g(1 - \sqrt{3}) = ((1 - \sqrt{3}) + 1)^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3
\]
4. در نهایت، مقدار \( f(g(1 - \sqrt{3})) - g(f(1 - \sqrt{3})) \) را حساب میکنیم:
\[
f(g(1 - \sqrt{3})) - g(f(1 - \sqrt{3})) = |3| - 3 = 3 - 3 = 0
\]
پس گزینه صحیح **1 یعنی 0** است.
**سوال ۱۲:**
برای برد تابع \( f(x + 3) = -(x + 3)^2 + 2 \) محاسبه را اینگونه انجام میدهیم:
این تابع مربعی است و تابع اصلی \( f(x) = -x^2 + 2 \) را به اندازه ۳ واحد به چپ منتقل کردهایم.
1. ریشهی تابع، بیشینهی منحنی را تعیین میکند و چون ضریب \( x^2 \) منفی است، تابع رو به پایین باز میشود.
2. رأس این تابع در \( x = -3 \) است.
3. مقدار تابع در نقطه رأس \( f(-3) \) برابر است با:
\[
f(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7
\]
برد تابع از مقدار بیشینه (که \( y = 2 \) است) تا بینهایت منفی است. یعنی برد کلی برابر است با \( (-\infty, 2] \).
پس گزینه صحیح **3 یعنی \( (-\infty, 2] \)** است.
