اعداد مثلثی به صورت زیر تعریف میشوند:
\( T_n = \frac{n(n+1)}{2} \)
ما به دنبال \( n \) هستیم که \( T_n = 66 \) باشد.
بنابراین داریم:
\[
\frac{n(n+1)}{2} = 66
\]
با ضرب طرفین در ۲:
\[
n(n+1) = 132
\]
معادله را تبدیل به یک معادله درجه دوم میکنیم:
\[
n^2 + n - 132 = 0
\]
با استفاده از فرمول حل معادله درجه دوم:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا \( a = 1 \)، \( b = 1 \) و \( c = -132 \) است. با جایگذاری به دست میآوریم:
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2}
\]
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{529}}{2}
\]
چون \( \sqrt{529} = 23 \)، بنابراین داریم:
\[
n = \frac{-1 + 23}{2} = 11
\]
بنابراین \( 66 \) یازدهمین عدد مثلثی است.
