**سوال ۱۱: محاسبه حجم استوانه**
**صورت سوال:** حجم استوانه ای را بدست آورید که شعاع قاعده آن ۲ سانتی متر و ارتفاع آن ۵ سانتی متر باشد.
**فرمول حجم استوانه:** $V = /pi r^2 h$
که در آن:
* $V$ = حجم
* $r$ = شعاع قاعده
* $h$ = ارتفاع
**راهحل:**
با جایگذاری مقادیر داده شده در فرمول:
$r = 2$ سانتی متر
$h = 5$ سانتی متر
$V = /pi /times (2 /text{ cm})^2 /times (5 /text{ cm})$
$V = /pi /times (4 /text{ cm}^2) /times (5 /text{ cm})$
$V = 20/pi /text{ cm}^3$
**پاسخ نهایی: حجم استوانه $20/pi$ سانتی متر مکعب است.**
---
**سوال ۱۲: محاسبه مساحت جانبی جسم مقابل**
**صورت سوال:** مساحت جانبی جسم مقابل را بدست آورید.
**شرح تصویر:** جسمی شبیه به منشور با قاعده مثلث قائمالزاویه (با اضلاع قائم ۶ و ۸ واحد) و ارتفاع ۱۰ واحد است.
**راهحل:**
ابتدا باید وتر مثلث قائمالزاویه قاعده را محاسبه کنیم. با استفاده از قضیه فیثاغورس:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 6^2 + 8^2$
$c^2 = 36 + 64$
$c^2 = 100$
$c = /sqrt{100} = 10$ واحد (این وتر قاعده است)
مساحت جانبی منشور از حاصل جمع مساحت مستطیلهای کناری به دست میآید. هر مستطیل، یکی از اضلاع قاعده (۶، ۸، ۱۰) را به عنوان طول و ارتفاع منشور (۱۰) را به عنوان عرض دارد.
مساحت مستطیل اول (ضلع ۶): $6 /times 10 = 60$ واحد مربع
مساحت مستطیل دوم (ضلع ۸): $8 /times 10 = 80$ واحد مربع
مساحت مستطیل سوم (وتر ۱۰): $10 /times 10 = 100$ واحد مربع
مساحت جانبی = مساحت مستطیل اول + مساحت مستطیل دوم + مساحت مستطیل سوم
مساحت جانبی = $60 + 80 + 100 = 240$ واحد مربع
**پاسخ نهایی: مساحت جانبی جسم ۲۴۰ واحد مربع است.**
---
**سوال ۱۳: تجزیه عدد و عملیات روی اعداد**
**صورت سوال:**
الف) عدد ۴۰ را تجزیه کرده و شمارندههای اول آن را مشخص کنید.
ب) اگر عدد $A = 2 /times 2 /times 3 /times 5$ و عدد $B = 2 /times 3 /times 3$ باشد، ب.م.م و ک.م.م دو عدد را بنویسید.
[A, B] = ?
**راهحل:**
**الف) تجزیه عدد ۴۰:**
$40 = 2 /times 20$
$20 = 2 /times 10$
$10 = 2 /times 5$
پس، تجزیه عدد ۴۰ به عوامل اول به صورت زیر است:
$40 = 2 /times 2 /times 2 /times 5 = 2^3 /times 5$
**شمارندههای اول عدد ۴۰ عبارتند از: ۲ و ۵.**
**ب) محاسبه ب.م.م و ک.م.م:**
ابتدا تجزیه اعداد A و B را به صورت کامل مینویسیم:
$A = 2^2 /times 3^1 /times 5^1$
$B = 2^1 /times 3^2$
* **ب.م.م (بزرگترین مقسوم علیه مشترک):** برای محاسبه ب.م.م، عوامل اول مشترک را با کمترین توان انتخاب میکنیم.
عوامل مشترک: ۲ و ۳
کمترین توان ۲: $2^1$
کمترین توان ۳: $3^1$
ب.م.م = $2^1 /times 3^1 = 2 /times 3 = 6$
* **ک.م.م (کوچکترین مضرب مشترک):** برای محاسبه ک.م.م، تمام عوامل اول موجود در هر دو عدد را با بیشترین توان انتخاب میکنیم.
تمام عوامل: ۲، ۳، ۵
بیشترین توان ۲: $2^2$
بیشترین توان ۳: $3^2$
بیشترین توان ۵: $5^1$
ک.م.م = $2^2 /times 3^2 /times 5^1 = 4 /times 9 /times 5 = 36 /times 5 = 180$
**پاسخ نهایی:**
* شمارندههای اول ۴۰: ۲ و ۵
* ب.م.م دو عدد: ۶
* ک.م.م دو عدد: ۱۸۰
---
**سوال ۱۴: مختصات نقاط و بردار**
**صورت سوال:**
الف) مختصات نقاط E و F را بنویسید.
ب) بردار $/vec{EF}$ را رسم کرده و مختصات آنرا بنویسید.
**راهحل:**
**الف) مختصات نقاط E و F:**
با توجه به تصویر صفحه شطرنجی، محورها و موقعیت نقاط:
* نقطه E در موقعیت (-۲, ۱) قرار دارد. (۲ واحد به چپ، ۱ واحد به بالا)
* نقطه F در موقعیت (۳, ۲) قرار دارد. (۳ واحد به راست، ۲ واحد به بالا)
**پس:**
$E = [-۲, ۱]$
$F = [۳, ۲]$
**ب) مختصات بردار $/vec{EF}$:**
مختصات بردار $/vec{EF}$ از تفریق مختصات نقطه شروع (E) از مختصات نقطه پایان (F) به دست میآید:
$/vec{EF} = F - E$
$/vec{EF} = [۳ - (-۲), ۲ - ۱]$
$/vec{EF} = [۳ + ۲, ۱]$
$/vec{EF} = [۵, ۱]$
**پاسخ نهایی:**
* $E = [-۲, ۱]$
* $F = [۳, ۲]$
* $/vec{EF} = [۵, ۱]$
---
**سوال ۱۵: عملیات روی ماتریسها و بردارها**
**صورت سوال:**
الف) در تساوی روبرو x و y را پیدا کنید.
$$ /begin{bmatrix} x // -۲ /end{bmatrix} + /begin{bmatrix} ۴ // y /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} ۳ // ۱ /end{bmatrix} $$
ب) اگر $A = /begin{bmatrix} -۵ & ۰ // ۱ & ۴ /end{bmatrix}$ و $B = /begin{bmatrix} ۲ // ۱ /end{bmatrix}$ باشد، مختصات بردار AB را پیدا کنید.
**راهحل:**
**الف) پیدا کردن x و y:**
برای جمع دو ماتریس (یا بردار ستونی)، درایههای متناظر را با هم جمع میکنیم:
$$ /begin{bmatrix} x+۴ // -۲+y /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} ۳ // ۱ /end{bmatrix} $$
حال، درایههای متناظر را مساوی قرار میدهیم:
* از درایه اول: $x + ۴ = ۳ /implies x = ۳ - ۴ /implies x = -۱$
* از درایه دوم: $-۲ + y = ۱ /implies y = ۱ + ۲ /implies y = ۳$
**پس: $x = -۱$ و $y = ۳$.**
**ب) پیدا کردن مختصات بردار AB:**
منظور از مختصات بردار AB، معمولاً بردار $/vec{AB}$ است که از تفریق مختصات نقطه A از مختصات نقطه B به دست میآید. **نکته مهم:** در اینجا A و B ماتریسهای متفاوتی نسبت به سوال قبل هستند. اگر منظور از A و B نقاط در صفحه باشند، باید مختصات آنها را داشته باشیم. اما با توجه به فرمت ماتریس A (دو بعدی) و ماتریس B (دو بعدی)، احتمالاً منظور **بردار B - بردار A** است.
$/vec{AB} = B - A$
**توجه:** ماتریس A یک ماتریس 2x2 و ماتریس B یک بردار ستونی 2x1 است. جمع یا تفریق این دو مستقیماً تعریف نشده مگر اینکه منظور خاصی باشد.
**احتمالاً منظور سوال این بوده که A و B بردارهایی در صفحه هستند.** اگر فرض کنیم:
$A = [-۵, ۱]$ (برداشته شده از ستون اول یا دوم ماتریس A)
$B = [۲, ۱]$ (بردار B)
در این صورت:
$/vec{AB} = B - A = [۲ - (-۵), ۱ - ۱] = [۲ + ۵, ۰] = [۷, ۰]$
**اما اگر منظور سوال جمع یا تفریق ماتریسها به صورت استاندارد باشد، باید ابعادشان سازگار باشد.** با توجه به اینکه B یک بردار ستونی است، شاید منظور A نیز بردار ستونی بوده است.
**اگر فرض کنیم منظور از A و B بردارهای ستونی باشند و ماتریس A به صورت زیر تفسیر شود:**
$A_{col1} = /begin{bmatrix} -۵ // ۱ /end{bmatrix}$
$A_{col2} = /begin{bmatrix} ۰ // ۴ /end{bmatrix}$
و B همان $/begin{bmatrix} ۲ // ۱ /end{bmatrix}$ باشد، سوال کمی مبهم است.
**با فرض رایجتر در مسائل برداری که A و B نقاط یا بردارهای دو بعدی هستند:**
فرض کنیم:
$A = /begin{bmatrix} -۵ // ۱ /end{bmatrix}$ (ستون اول ماتریس A)
$B = /begin{bmatrix} ۲ // ۱ /end{bmatrix}$
مختصات بردار AB (یعنی $/vec{AB}$) برابر است با:
$/vec{AB} = B - A = /begin{bmatrix} ۲ // ۱ /end{bmatrix} - /begin{bmatrix} -۵ // ۱ /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} ۲ - (-۵) // ۱ - ۱ /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} ۷ // ۰ /end{bmatrix}$
**یا اگر ستون دوم ماتریس A منظور باشد:**
$A = /begin{bmatrix} ۰ // ۴ /end{bmatrix}$
$B = /begin{bmatrix} ۲ // ۱ /end{bmatrix}$
$/vec{AB} = B - A = /begin{bmatrix} ۲ // ۱ /end{bmatrix} - /begin{bmatrix} ۰ // ۴ /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} ۲ - ۰ // ۱ - ۴ /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} ۲ // -۳ /end{bmatrix}$
**چون سوال دقیقاً مشخص نکرده کدام ستون ماتریس A مد نظر است، هر دو پاسخ ممکن است.** اما معمولاً در اینگونه مسائل، ستون اول یا خود ماتریس A به عنوان یک نقطه یا بردار در نظر گرفته میشود. **به احتمال زیاد منظور ستون اول ماتریس A بوده است.**
**پاسخ نهایی (با فرض اینکه A ستون اول ماتریس A باشد):**
* الف) $x = -۱$ و $y = ۳$
* ب) مختصات بردار AB برابر است با $/begin{bmatrix} ۷ // ۰ /end{bmatrix}$.
