در شکل مقابل $OY$ نیمساز زاویه $O$ است. نشان دهید هر نقطه روی نیمساز از هر دو ضلع به یک فاصله است. [شکل: دو خط متقاطع که با یک نیمساز از راس $O$ تقسیم شده‌اند]

نقطه $O$ مرکز دایره است و از $B$ مماس بر دایره رسم شده است. چرا دو مثلث $\triangle OBD$ و $\triangle OBC$ هم‌نهشت‌اند؟ بنا به کدام حالت؟ [شکل: دایره به مرکز $O$ که نقطه $B$ خارج آن است و دو خط مماس از $B$ بر دایره در نقاط $D$ و $C$ رسم شده است]

ثابت کنید میانه وارد بر قاعده در مثلث متساوی‌الساقین بر نیمساز زاویه رو به قاعده منطبق است. ثابت کنید $\hat{N}_{1} = \hat{N}_{2}$. [شکل: مثلث $NPM$ که $ND$ میانه وارد بر قاعده $PM$ است و بر آن عمود شده است]