برای حل این مسئله، میتوانیم از اصل شمارش جمعی استفاده کنیم.
**الف) چقدر نفر در هر دو گروه عضو هستند؟**
برای به دست آوردن تعداد افرادی که در هر دو گروه عضو هستند، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
\]
در اینجا:
- \( |A| \) تعداد اعضای گروه سرود (۱۲ نفر) است.
- \( |B| \) تعداد اعضای گروه تئاتر (۱۰ نفر) است.
- \( |A \cup B| \) تعداد اعضای حداقل در یکی از دو گروه (۱۷ نفر) است.
- \( |A \cap B| \) تعداد اعضای هر دو گروه است که ما آن را میخواهیم پیدا کنیم.
حالا میتوانیم مقادیر را در معادله جایگذاری کنیم:
\[
17 = 12 + 10 - |A \cap B|
\]
این معادله را حل میکنیم:
\[
17 = 22 - |A \cap B|
\]
\[
|A \cap B| = 22 - 17 = 5
\]
پس ۵ نفر در هر دو گروه عضو هستند.
**ب) چند نفر فقط در یکی از این دو گروه هستند؟**
برای یافتن تعداد افرادی که فقط در یکی از دو گروه هستند، ابتدا باید تعداد افرادی که فقط در گروه سرود هستند و همچنین تعداد افرادی که فقط در گروه تئاتر هستند را محاسبه کنیم.
تعداد افرادی که فقط در گروه سرود هستند:
\[
|A| - |A \cap B| = 12 - 5 = 7
\]
تعداد افرادی که فقط در گروه تئاتر هستند:
\[
|B| - |A \cap B| = 10 - 5 = 5
\]
حالا تعداد افرادی که فقط در یکی از دو گروه هستند را به صورت زیر محاسبه میکنیم:
\[
(تعداد فقط گروه سرود) + (تعداد فقط گروه تئاتر) = 7 + 5 = 12
\]
پس ۱۲ نفر فقط در یکی از این دو گروه عضو هستند.
نتیجه نهایی:
الف) ۵ نفر در هر دو گروه عضو هستند.
ب) ۱۲ نفر فقط در یکی از دو گروه هستند.
