برای حل این سوالات، به شرح زیر پیش میرویم:
**سوال ۱: توپ از ارتفاع ۸۱ متری سقوط میکند و پس از برخورد با زمین، به ارتفاعی معادل یکسوم ارتفاع قبلی خود برمیگردد.**
ابتدا ارتفاعهایی که توپ در برخوردهای مختلف طی میکند را محاسبه میکنیم:
1. **برخورد اول:**
- توپ از ۸۱ متر ارتفاع به زمین میرسد و سپس به مقدار \(\frac{1}{3}\) این ارتفاع برمیگردد:
\[
81 \times \frac{1}{3} = 27 \text{ متر}
\]
2. **برخورد دوم:**
- از ۲۷ متر سقوط میکند و به ارتفاع \(\frac{1}{3}\) این ارتفاع برمیگردد:
\[
27 \times \frac{1}{3} = 9 \text{ متر}
\]
3. **برخورد سوم:**
- از ۹ متر سقوط میکند و به ارتفاع \(\frac{1}{3}\) این ارتفاع برمیگردد:
\[
9 \times \frac{1}{3} = 3 \text{ متر}
\]
**سوال ۲: حلزون ۷ متر روزانه بالا میرود و ۳ متر شبانه پایین میآید.**
هر روز حلزون \(7-3=4\) متر پیشروی میکند.
برای رسیدن به بالای درخت، اولین بار بعد از پایان روزی که به ۲۸ متر رسیده، به بالای درخت میرسد. در این روز:
1. **روز اول:**
- صبح تا شب بالا میرود: \(7\) متر
- شب \(3\) متر پایین میآید: فاصلهاش تا بالای درخت \(4\) متر کاهش مییابد.
2. **روز دوم تا روز هفتم:**
- هر روز \(4\) متر به هدف نزدیک میشود، یعنی تا پایان روز هفتم به \(28\) متر میرسد.
- پایان روز هفتم با بالا رفتن \(7\) متر به بالای درخت میرسد و نیازی به پایین آمدن شبانه نیست.
بنابراین، حلزون تا پایان روز هفتم به بالای درخت میرسد.
