۱۸. می‌دانیم مساحت مثلثی به محیط $2P$ که دایره‌ای به شعاع $r$ داخل آن محاط شده است برابر با $S = rP$ است. از طرفی شعاع هریک از دوایر محاطی خارجی به ترتیب برابر است با: $r_a = \frac{S}{P - a} \quad , \quad r_b = \frac{S}{P - b} \quad , \quad r_c = \frac{S}{P - c}$ بنابراین داریم: $\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{P - a}{S} + \frac{P - b}{S} + \frac{P - c}{S}$ $= \frac{3P - (a + b + c)}{S} = \frac{3P - 2P}{S} = \frac{P}{S} = \frac{1}{r}$