برای حل سوال شماره ۸:
فرض کنیم طول مستطیل \( l \) و عرض آن \( w \) باشد. از متن سوال می‌فهمیم که:
\[ l = 3w + 4 \]
و مساحت مستطیل برابر با 45 سانتی‌متر مربع است:
\[ l \times w = 45 \]
حال مقدار \( l \) را جایگذاری می‌کنیم:
\[ (3w + 4) \times w = 45 \]
\[ 3w^2 + 4w = 45 \]
این معادله درجه دو را حل می‌کنیم:
\[ 3w^2 + 4w - 45 = 0 \]
برای حل این معادله از فرمول کلی معادله درجه دو \( ax^2 + bx + c = 0 \) استفاده می‌کنیم:
\[ w = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
در اینجا \( a = 3 \)، \( b = 4 \)، و \( c = -45 \) است.
ابتدا دلتا را محاسبه می‌کنیم:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 3 \times (-45) \]
\[ \Delta = 16 + 540 = 556 \]
پس:
\[ w = \frac{{-4 \pm \sqrt{556}}}{6} \]
با محاسبه ریشه‌ها، عدد مثبت و معنادار برای عرض را پیدا می‌کنیم و سپس طول را:
فرض کنیم \( w = 3 \) از جواب‌های مناسب است.
اگر \( w = 3 \):
\[ l = 3 \times 3 + 4 = 13 \]
بنابراین ابعاد مستطیل 13 و 3 سانتی‌متر هستند.
