سوال ۱۵:
اول ببینیم تابع فرد یعنی چی. یعنی اگه به جای x، منفی x بذاریم، کل تابع قرینه بشه. یعنی:
f(-x) = -f(x)
حالا اینو روی تابع خودمون اعمال میکنیم:
f(-x) = (-x + a) / (b(-x) + 1)
f(-x) = (-x + a) / (-bx + 1)
حالا این باید برابر باشه با منفی f(x)
(-x + a) / (-bx + 1) = - ((x + a) / (bx + 1))
حالا کسر سمت راست رو هم ساده میکنیم:
(-x + a) / (-bx + 1) = (-x -a) / (bx + 1)
حالا طرفین وسطین میکنیم:
(-x + a) (bx + 1) = (-x -a) (-bx + 1)
حالا دوتا پرانتز رو ضرب میکنیم:
-bx^2 - x + abx + a = bx^2 - x - abx + a
a ها از دو طرف ساده میشن. عبارتهای شامل x رو میبریم یه طرف و بقیه رو یه طرف دیگه:
-bx^2 + abx - bx^2 + abx = 0
مرتب میکنیم:
-2bx^2 + 2abx = 0
از سمت چپ 2bx فاکتور میگیریم:
2bx (-b + a) = 0
حالا یا 2bx باید صفر باشه یا پرانتز:
* اگه 2bx صفر باشه، یا b صفره یا x. صورت سوال گفته b صفر نیست، پس x باید صفر باشه.
* اگه پرانتز صفر باشه، یعنی a و b با هم برابرن.
حالا اینارو میبریم تو f(6) و میبینیم کدوم جواب میده:
f(6) = (6 + a ) / (b(6) + 1)
صورت سوال گفته این برابر 2/3 هست:
(6 + a ) / (b(6) + 1) = 2/3
حالا دو حالت داریم:
* x = 0 اینو که نمیتونیم اینجا استفاده کنیم
* a = b اینو میذاریم تو معادله:
(6 + a ) / (a(6) + 1) = 2/3
طرفین وسطین میکنیم:
3(6 + a) = 2(6a + 1)
پرانتزا رو ضرب میکنیم
18 + 3a = 12a + 2
a ها رو میبریم یه طرف و عددها رو یه طرف دیگه
18 - 2 = 12a - 3a
16 = 9a
پس a میشه 16/9. و چون a و b برابرن، b هم همینه.
حالا سوال از ما a + b رو میخواد:
16/9 + 16/9 = 32/9
پس جواب سوال ۱۵ میشه گزینه ۴
سوال ۱۶:
اینجا تابع همانی داریم. یعنی هر چی به عنوان ورودی بدیم، همونو پس میده. پس:
f(x) = x
حالا f(x) رو از صورت سوال مینویسیم:
(ax^2 - bx) / (cx -1) = x
طرفین وسطین میکنیم:
ax^2 - bx = x(cx -1)
سمت راست رو ضرب میکنیم
ax^2 - bx = cx^2 - x
همه رو میبریم یه طرف:
ax^2 - bx - cx^2 + x = 0
مرتب میکنیم:
ax^2 - cx^2 - bx + x = 0
از دو تا اول x^2 فاکتور میگیریم و از دو تا دوم 1 فاکتور میگیریم
x^2 (a - c) + x (1 - b) = 0
حالا میخوایم این شبیه x بشه. پس ضریب x^2 باید صفر بشه و ضریب x باید 1 بشه:
* a - c = 0 ینی a = c
* 1 - b = 1 ینی b = 0
حالا سوال از ما a + b + c رو میخواد. میدونیم a و c برابرن و b صفره، پس:
a + 0 + a = 2a
پس جواب سوال ۱۶ میشه گزینه ۲
اگه بازم سوالی برات پیش اومد، بپرس!
