برای حل این سوال، ابتدا باید ابعاد قاب را بر اساس فاصله \( x \) از لبههای عکس بدست آوریم. عکس دارای ابعاد \( 8 \) سانتیمتر و \( 6 \) سانتیمتر است و فاصله عکس تا هر لبه قاب \( x \) سانتیمتر است. بنابراین، ابعاد کلی قاب به صورت زیر است:
- عرض قاب: \( 8 + 2x \) (زیرا \( x \) از هر سمت به عرض عکس اضافه میشود)
- ارتفاع قاب: \( 6 + 2x \) (زیرا \( x \) از هر سمت به ارتفاع عکس اضافه میشود)
حالا، مساحت قاب را میتوان با فرمول زیر محاسبه کرد:
\[
\text{مساحت قاب} = \text{عرض قاب} \times \text{ارتفاع قاب} = (8 + 2x)(6 + 2x)
\]
ما میدانیم که مساحت قاب برابر با \( 100 \) سانتیمتر مربع است:
\[
(8 + 2x)(6 + 2x) = 100
\]
حالا این معادله را حل میکنیم:
\[
(8 + 2x)(6 + 2x) = 48 + 16x + 12x + 4x^2 = 48 + 28x + 4x^2
\]
این عبارت را برابر با \( 100 \) قرار میدهیم:
\[
4x^2 + 28x + 48 - 100 = 0
\]
که به صورت زیر ساده میشود:
\[
4x^2 + 28x - 52 = 0
\]
حالا برای حل این معادله میتوانیم آن را به شکل سادهتری درآوریم. ابتدا هر دو طرف را بر \( 4 \) تقسیم میکنیم:
\[
x^2 + 7x - 13 = 0
\]
حالا با استفاده از فرمول حل معادلات درجه دو میتوانیم \( x \) را محاسبه کنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)}}{2 \cdot 1}
\]
محاسبه دلتای معادله:
\[
b^2 - 4ac = 49 + 52 = 101
\]
در نتیجه داریم:
\[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{101}}{2}
\]
حالا که مقدار \( x \) به دست آمد، میتوانیم ابعاد قاب را محاسبه کنیم:
عرض قاب:
\[
8 + 2x = 8 + 2 \left(\frac{-7 + \sqrt{101}}{2}\right) = 8 - 7 + \sqrt{101} = 1 + \sqrt{101}
\]
ارتفاع قاب:
\[
6 + 2x = 6 + 2 \left(\frac{-7 + \sqrt{101}}{2}\right) = 6 - 7 + \sqrt{101} = -1 + \sqrt{101}
\]
حالا محیط قاب را با استفاده از فرمول زیر محاسبه میکنیم:
\[
\text{محیط} = 2 \times (\text{عرض قاب} + \text{ارتفاع قاب}) = 2 \times \left( (1 + \sqrt{101}) + (-1 + \sqrt{101}) \right) = 2 \times (2\sqrt{101})
\]
پس:
\[
\text{محیط} = 4\sqrt{101}
\]
در نهایت، میتوانیم عدد تقریبی محیط را محاسبه کنیم:
\[
\sqrt{101} \approx 10.05 \implies \text{محیط} \approx 4 \times 10.05 = 40.2 \text{ سانتیمتر}
\]
بنابراین، جواب نهایی:
\[
\text{محیط قاب} \approx 40.2 \text{ سانتیمتر}
\]
