برای حل این سوال، باید بدانیم تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه با تعداد اعضای آن چه رابطهای دارند. اگر مجموعهای \( n \) عضو داشته باشد، تعداد زیرمجموعههای آن برابر \( 2^n \) خواهد بود.
در این سوال گفته شده که یک مجموعه با \( n \) عضو برابر با \( 3^n \) زیرمجموعه دارد. بر طبق این شرط است که میتوانیم \( n \) را پیدا کنیم.
از طرف دیگر، داده شده است که مجموعههای کوچکتر از این مجموعه که تعداد اعضایشان به ترتیب \( n-3 \)، \( n-1 \)، و \( n+2 \) عضو دارند، به ترتیب \( 74 \)، \( 526 \)، و \( 2706 \) زیرمجموعه دارند.
ابتدا باید مقدار \( n \) را به دست بیاوریم. از رابطهی \( 2^n = 3^n \) میتوانیم استفاده کنیم:
\[
2^n = 3^n
\]
این معادله تنها وقتی برقرار است که \( n = 0 \) باشد. اما چون \( n \) نمیتواند صفر باشد (یعنی تعداد اعضای مجموعه نمیتواند صفر باشد)، بنابراین باید دو ویژگی دیگر را بررسی کنیم و به \( n \) عددی نزدیک پیدا کنیم که بتوانیم به آن برسیم.
برای مجموعهای با \( n \) عضو، اگر تعداد زيرمجموعهها برابر 296 باشد، باید داشته باشیم:
\[
2^n = 296
\]
به همین شکل میتوانید بررسی کنید کدام گزینه صحیح است.
در نهایت، حل دقیق بعضی موارد پیچیده است و نیازمند استفاده از تقریب برای پیدا کردن کمترين مقادير میباشد، ولی بهطور کلی برای آزمونها، دقیقاً به جواب نمیرسیم مگر اینکه گزینهها را مقایسه کنیم.
