برای اینکه معادله \( ax + b = 0 \) یک ریشه صحیح داشته باشد، باید ارتباطی بین \( a \) و \( b \) وجود داشته باشد. این معادله را به صورت زیر حل می‌کنیم:
1. ابتدا معادله را به صورت \( ax = -b \) می‌نویسیم.
2. سپس مقدار \( x \) را پیدا می‌کنیم:
\[
x = -\frac{b}{a}
\]
از آن‌جا که می‌خواهیم \( x \) یک عدد صحیح باشد، یعنی \( -\frac{b}{a} \) باید یک عدد صحیح باشد.
این به این معناست که \( b \) باید به صورت خاصی متناسب با \( a \) باشد. به عبارت دیگر، \( b \) باید مضربی از \( a \) باشد. برای این که این شرط برقرار باشد، می‌توانیم بنویسیم که:
\[
b = -k \cdot a
\]
که در آن \( k \) یک عدد صحیح است.
بنابراین، چون \( a \neq 0 \) است، می‌توان نتیجه گرفت که:
\[
b + k \cdot a = 0
\]
در نتیجه، این رابطه نشان می‌دهد که برای هر عدد صحیح \( k \)، اگر \( b \) به صورت \( b = -k \cdot a \) باشد، آنگاه معادله \( ax + b = 0 \) دارای یک ریشه صحیح خواهد بود.
