در یک مثلث متساوی‌الساقین، ارتفاع وارد بر قاعده، قاعده را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.
فرض کنید \(\triangle ABC\) مانند زیر باشد:
- \(\overline{AB} = \overline{AC}\)
- \(\overline{AD}\) ارتفاع از رأس \(A\) بر قاعده \(BC\).
هدف اثبات است که \(D\) نقطه‌ی میانه‌ی \(BC\) است.
زیرا \(\triangle ABD\) و \(\triangle ADC\) دو مثلث قائم‌الزاویه‌اند و:
1. در هر دو مثلث:
- ضلع \(\overline{AD}\) مشترک است،
- \(\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ\).
2. \(\overline{AB} = \overline{AC}\) (فرض مساله، متساوی‌الساقین بودن).
بنابراین طبق قضیه‌ی هم‌نهشتی مثلث‌ها (ض.ز.ض)، \(\triangle ABD \cong \triangle ADC\).
در نتیجه، \(\overline{BD} = \overline{DC}\)، یعنی \(D\) نقطه‌ی میانه‌ی \(BC\) است.
این رابطه در هر مثلث متساوی‌الساقین برقرار است.
