### *سوال ۲: زاویه بین دو بردار
صورت سوال: زاویه بین دو بردار $/vec{a} = /begin{bmatrix} -1 // 1 /end{bmatrix}$ و $/vec{b} = /begin{bmatrix} 3 // 3 /end{bmatrix}$ برابر است با:
الف) ۳۰ درجه | ب) ۴۵ درجه | ج) ۶۰ درجه | د) ۹۰ درجه
روش حل:
برای پیدا کردن زاویه بین دو بردار ($/theta$)، از فرمول حاصلضرب داخلی (Dot Product) استفاده میکنیم:
$$/cos(/theta) = /frac{/vec{a} /cdot /vec{b}}{|/vec{a}| /cdot |/vec{b}|}$$
۱. محاسبه حاصلضرب داخلی ($/vec{a} /cdot /vec{b}$):
$$/vec{a} /cdot /vec{b} = (-1 /times 3) + (1 /times 3) = -3 + 3 = 0$$
۲. نتیجهگیری:
وقتی حاصلضرب داخلی دو بردار برابر با صفر باشد، یعنی آن دو بردار بر هم عمود هستند. زاویهای که دو خط عمود با هم میسازند، ۹۰ درجه است. (نیازی به محاسبه اندازه بردارها نیست چون مخرج کسر صفر نمیشود).
پاسخ صحیح: گزینه (د) ۹۰ درجه
---
### سوال ۳: پیدا کردن مختصات نقطه C
صورت سوال: اگر $A = /begin{bmatrix} 1 // 1 /end{bmatrix}$ و $B = /begin{bmatrix} 4 // 4 /end{bmatrix}$ و بردار $/vec{AB} = 2/vec{BC}$ باشد، مختصات نقطه $C$ کدام است؟
الف) $/begin{bmatrix} 5 // 5 /end{bmatrix}$ | ب) $/begin{bmatrix} 5 // -1 /end{bmatrix}$ | ج) $/begin{bmatrix} -5 // -1 /end{bmatrix}$ | د) $/begin{bmatrix} -1 // 5 /end{bmatrix}$
روش حل:
۱. ابتدا بردار $/vec{AB}$ را پیدا میکنیم:
$$/vec{AB} = B - A = /begin{bmatrix} 4 // 4 /end{bmatrix} - /begin{bmatrix} 1 // 1 /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} 3 // 3 /end{bmatrix}$$
۲. طبق صورت سوال، $/vec{AB} = 2/vec{BC}$ است. پس $/vec{BC}$ را پیدا میکنیم:
$$/vec{BC} = /frac{1}{2} /vec{AB} = /frac{1}{2} /begin{bmatrix} 3 // 3 /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} 1.5 // 1.5 /end{bmatrix}$$
۳. حالا با استفاده از تعریف بردار $/vec{BC} = C - B$، نقطه $C$ را پیدا میکنیم:
$$C = B + /vec{BC}$$
$$C = /begin{bmatrix} 4 // 4 /end{bmatrix} + /begin{bmatrix} 1.5 // 1.5 /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} 5.5 // 5.5 /end{bmatrix}$$
نکته مهم: با دقت در گزینههای تصویر، به نظر میرسد یا در صورت سوال عدد دیگری مد نظر بوده (مثلاً اگر $A$ یا $B$ متفاوت بودند) یا گزینهها با محاسبات همخوانی ندارند. اما با اعداد دقیقِ نوشته شده در تصویر:
- اگر $/vec{AB} = 2/vec{BC}$ باشد، جواب $/begin{bmatrix} 5.5 // 5.5 /end{bmatrix}$ است.
- اما اگر منظور سوال این بوده که $/vec{BC} = 2/vec{AB}$ باشد، جواب متفاوت میشود.
- اگر فرض کنیم سوال به دنبال نقطه دیگری است که در گزینهها باشد، احتمالاً در تایپ اعداد $A$ یا $B$ در منبع اصلی اشتباهی وجود دارد.
با توجه به گزینههای موجود و ساختار معمول این تستها:
اگر بردار $/vec{AB}$ برابر $/begin{bmatrix} 4 // 4 /end{bmatrix}$ باشد (یعنی $A$ از مبدأ شروع شده باشد)، جواب به گزینه الف نزدیک میشود. اما با محاسبات دقیق اعدادِ روی کاغذ، پاسخ $/begin{bmatrix} 5.5 // 5.5 /end{bmatrix}$ است.
پیشنهاد:* یک بار دیگر اعداد $A$ و $B$ را در کتاب یا منبع خود چک کن تا مطمئن شوی درست خواندهای؛ اما روش حل بالا کاملاً صحیح است.
