برای پیدا کردن تعداد صفرهایی که عدد \( 15^3 \times 12^2 \) به آن ختم میشود، ابتدا باید عدد را در قالب عوامل اولش تجزیه کنیم.
1. **تجزیه \( 15 \)**:
\[
15 = 3 \times 5
\]
پس:
\[
15^3 = (3 \times 5)^3 = 3^3 \times 5^3
\]
2. **تجزیه \( 12 \)**:
\[
12 = 3 \times 4 = 3 \times (2^2) = 2^2 \times 3
\]
پس:
\[
12^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2
\]
حالا ترکیب میکنیم:
\[
15^3 \times 12^2 = (3^3 \times 5^3) \times (2^4 \times 3^2)
\]
با ادغام عوامل مشابه:
\[
= 2^4 \times 3^{3+2} \times 5^3 = 2^4 \times 3^5 \times 5^3
\]
برای پیدا کردن تعداد صفرهایی که عدد مورد نظر به آن ختم میشود، باید تعداد عاملهای \( 10 \) را که از ترکیب \( 2 \) و \( 5 \) به دست میآید، شمارش کنیم. چون:
\[
10 = 2 \times 5
\]
بنابراین، تعداد \( 10 \) ها برابر با کمترین مقدار بین تعداد \( 2 \) ها و \( 5 \) هاست:
- تعداد \( 2 \) ها: \( 4 \)
- تعداد \( 5 \) ها: \( 3 \)
عدد صفرهایی که در نهایت خواهیم داشت:
\[
\text{تعداد زروها} = \min(4, 3) = 3
\]
پس عدد \( 15^3 \times 12^2 \) به **3 صفر** ختم میشود.
