برای اینکه سهمی \( y = mx^2 - mx - 1 \) همواره پایین محور \( x \)ها باشد، باید معادله هیچ ریشهای نداشته باشد یا فقط ریشههای مختلط داشته باشد. برای این کار، باید دلتا یا همان \(\Delta\) را محاسبه کنیم و بررسی کنیم که \(\Delta < 0\).
معادله سهمی به فرم کلی \( ax^2 + bx + c \) است که در اینجا:
\( a = m \)
\( b = -m \)
\( c = -1 \)
دلتا را از فرمول زیر محاسبه میکنیم:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
با جایگذاری ضرایب:
\[
\Delta = (-m)^2 - 4(m)(-1) = m^2 + 4m
\]
برای اینکه سهمی همیشه پایین محور \( x \)ها باشد، باید:
\[
m^2 + 4m < 0
\]
این یک نامعادله درجه دو است. با استفاده از روشهای تحلیل نامعادلات درجه دو، آن را حل میکنیم:
1. \( m(m + 4) < 0 \)
2. نقاط بحرانی یعنی ریشههای معادله \( m(m + 4) = 0 \) را پیدا میکنیم: \( m = 0 \) و \( m = -4 \).
با توجه به نقاط بحرانی، نشانههای تابع درجه دو را در بازههای بین این نقاط بررسی میکنیم:
- برای \( m < -4 \)، تابع مثبت است.
- برای \( -4 < m < 0 \)، تابع منفی است. (مطلوب)
- برای \( m > 0 \)، تابع مثبت است.
پس بازه مورد نظر برای \( m \) این است: \( -4 < m < 0 \).
