برای محاسبه عمر ماده رادیواکتیو، از فرمول نیمه‌عمر استفاده می‌کنیم. در این سوال، اطلاعات زیر داریم:
- جرم اولیه ماده: ۸۰۰ گرم
- جرم باقی‌مانده پس از ۸ سال: ۱۸۷.۵ گرم
نیمه‌عمر (T) زمانی است که نیمی از یک ماده رادیواکتیو تجزیه شود.
از فرمول نیمه‌عمر استفاده می‌کنیم:
\[
N_t = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}
\]
که در آن:
- \( N_t \) جرم باقی‌مانده ماده است.
- \( N_0 \) جرم اولیه ماده است.
- \( t \) مدت زمان گذشته (۸ سال در اینجا).
- \( T \) نیمه‌عمر ماده است.
جایگذاری مقادیر در فرمول:
\[
187.5 = 800 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{T}}
\]
مراحل حل:
1. تقسیم دو طرف معادله بر ۸۰۰:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{T}} = \frac{187.5}{800} = 0.234375
\]
2. محاسبه با لگاریتم دو طرف:
\[
\frac{8}{T} = \log_{0.5} (0.234375)
\]
3. محاسبه لگاریتم:
با تقریب \(\log_{0.5} (0.234375) \approx 2.431\)، سپس:
\[
\frac{8}{T} = 2.431
\]
4. حل برای \( T \):
\[
T = \frac{8}{2.431} \approx 3.29
\]
بنابراین، نیمه‌عمر این ماده تقریباً ۳٫۲۹ سال است.
