برای یافتن کوچکترین جملهی دنباله با عنوان \( a_n = \frac{3}{n+2} \) باید مقدار \( n \) را به گونهای انتخاب کنیم که \( a_n \) کمینه شود. توجه کنید که با افزایش \( n \)، مقدار \( n+2 \) افزایش مییابد و بنابراین \( a_n \) کاهش مییابد.
بنابراین، کوچکترین جمله زمانی است که \( n \) به شکلی بینهایت بزرگ میشود. اما اگر به اولین جملههای دنباله توجه کنیم، و به دنبال مقدار کمینهای باشیم که عدد صحیح داشته باشد، باید \( n \) را از مقدارهای کوچک به بزرگ امتحان کنیم.
مثلاً وقتی \( n = 1 \):
\[
a_1 = \frac{3}{1+2} = \frac{3}{3} = 1
\]
برای \( n = 2 \):
\[
a_2 = \frac{3}{2+2} = \frac{3}{4} = 0.75
\]
و همینطور با افزایش \( n \)، مقدار \( a_n \) کوچکتر خواهد شد. برای یافتن کوچکترین عدد صحیح برای \( a_n \) باید بررسی کرد که برای چه \( n \) یی، \( \frac{3}{n+2} \leq 1 \) نیست.
به عبارت دیگر، کوچکترین مقدار ممکن نشان داده شده توسط جمله در دنباله که عدد صحیح باشد، بدست آمده و مکفی خواهد بود.
