برای حل این سوال، ابتدا نیاز است که نمودار تابع پارهای داده شده را رسم کنیم و سپس دامنه و برد آن را بیابیم.
تابع \( f(x) \) به صورت زیر تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 - 1 & \text{اگر } x \leq 2 \x - 4 & \text{اگر } x > 2
\end{cases}
\]
### رسم نمودار:
1. **برای \( x \leq 2 \):** تابع \( f(x) = x^2 - 1 \) یک سهمی است که از نقطه \((-1,-1)\) شروع میشود و به سمت چپ ادامه دارد. نقطه \( (2, 3) \) نیز روی این سهمی است.
2. **برای \( x > 2 \):** تابع \( f(x) = x - 4 \) یک خط مستقیم است که از نقطه \( (2, -2) \) عبور کرده و به سمت راست ادامه دارد.
### نقاط اتصال:
دو قسمت تابع در \( x = 2 \) به صورت زیر هستند:
- از سمت چپ (\( x \to 2^{-} \)): \( f(x) = 2^2 - 1 = 3 \)
- از سمت راست (\( x \to 2^{+} \)): \( f(x) = 2 - 4 = -2 \)
بنابراین تابع در \( x = 2 \) ناپیوسته است.
### دامنه و برد:
- **دامنه:** دامنه این تابع تمامی اعداد حقیقی است زیرا برای هر \( x \) مشخص، \( f(x) \) تعریف شده است.
- **برد:** برد تابع از ترکیب بخشهای مختلف به دست میآید:
- برای \( x \leq 2 \)، برد از \(-1\) شروع میشود و به \( 3 \) ختم میشود.
- برای \( x > 2 \)، برد از \(-2\) شروع میشود و به \(\infty\) ادامه دارد.
بنابراین، برد تابع به صورت زیر است: \( (-2, \infty) \) بدون در نظر گرفتن گسستگی در \( x = 2 \).
در نمودار نهایی، نقاط شامل \((2, 3)\) با یک نقطه توخالی (چون تابع در \( x = 2 \) ناپیوسته و مقدار سمت چپ \( 3 \) است) و \((2, -2)\) با یک نقطه توپر هستند.
