برای اثبات اینکه اگر \( A - B = \emptyset \) (مجموعه A بدون مجموعه B برابر با مجموعه تهی است)، آنگاه \( A = B \) درست است، میتوانیم از تعاریف مجموعهها استفاده کنیم.
**تعریف مجموعه خالی:**
مجموعه خالی (\( \emptyset \)) مجموعهای است که هیچ عضوی ندارد.
**گام اول: تحلیل عبارت \( A - B = \emptyset \)**
عبارت \( A - B \) به معنای تمام اعضای مجموعه A است که در مجموعه B وجود ندارند. بنابراین اگر \( A - B = \emptyset \) باشد، به این معناست که هیچ عضوی از A وجود ندارد که در B نباشد. به زبان دیگر، تمام اعضای A باید در B وجود داشته باشند.
**گام دوم: استفاده از تعریف زیرمجموعه**
از آنجایی که تمام اعضای A در B هستند، میتوانیم بگوییم که \( A \subseteq B \) (A زیرمجموعه B است).
**گام سوم: بررسی عکسی**
حال، از آنجایی که \( A - B = \emptyset \)، ما همچنین میتوانیم بررسی کنیم که آیا \( B - A \) نیز خالی است یا خیر. اگر جرئی از مجموعه B وجود داشته باشد که در A نیست، آنگاه \( B - A \) غیر خالی خواهد بود.
اما فرض کنیم \( B - A \) غیر خالی باشد. در این صورت، مجموعه B دارای اعضایی است که در A نیستند و این با فرض قبلی که \( A - B = \emptyset \) است، تناقض دارد.
بنابراین، ما نتیجه میگیریم که \( B - A \) نیز خالی است، به این معنا که \( B \subseteq A \) نیز درست است.
**گام نهایی: نتیجهگیری**
حال با توجه به اینکه \( A \subseteq B \) و \( B \subseteq A \) داریم، میتوانیم نتیجه بگیریم که \( A = B \) درست است.
بنابراین، اثبات کردیم که اگر \( A - B = \emptyset \) باشد، آنگاه \( A = B \) درست است.
