برای حل این مسئله، ابتدا معادلهی \( a + \frac{1}{a} = 3 \) را در نظر میگیریم. هدف یافتن مقدار \( a^2 + a^{-2} \) است.
میدانیم:
\[
(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}
\]
و طبق معادله داده شده:
\[
(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2 = 9
\]
بنابراین:
\[
a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9
\]
با جابجایی اعضا، خواهیم داشت:
\[
a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7
\]
پس گزینه صحیح 7 است.