برای حل پرسش‌های تصویر: ۱. برای اثبات درستی اتحاد: اتحاد \(\frac{1 + \cos \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin \theta (1 - \cos \theta)}\) را بررسی می‌کنیم. - سمت چپ را ساده کنیم: \[ \frac{1 + \cos \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)}{\sin^2 \theta (1 - \cos \theta)} = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta (1 - \cos \theta)} \] با توجه به اینکه \(1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta\): \[ = \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta (1 - \cos \theta)} = \frac{1}{1 - \cos \theta} \] بنابراین اتحاد صحیح است. ۲. اگر در ناحیه سوم مثلثاتی باشد و \(\sin \alpha = -\frac{1}{3}\): در ناحیه سوم، چون سینوس منفی و کسینوس هم منفی است، برای پیدا کردن \(\cos \alpha\) و \(\tan \alpha\) باید روابط مثلثاتی را استفاده کنیم: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] و برای \(\tan \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] ۳. در ناحیه چهارم، همواره \(\cos \alpha\) مثبت و \(\sin \alpha\) منفی است. اگر \(\cot \alpha\) هم مثبت باشد، \(\alpha\) در ناحیه چهارم است. ۴. خط \(x = y = 7\) با محور مختصات: - خطی که معادله \(x = y\) دارد، زاویه \(45\) درجه یا \(\pi/4\) رادیان با محور \(x\) می‌سازد. بنابراین زاویه بین این خط و محور مثبت \(x\) برابر \(45\) درجه است. امیدوارم این توضیحات کمکی کرده باشد!