برای اثبات نابرابری داده شده، میخواهیم نشان دهیم:
\[ |f(x) - f(y)| \geq |x - y| \]
فرض کنید \( f \) تابعی پیوسته باشد. برای اثبات این نابرابری، باید نشان دهیم که \( f \) انقباض نیست. این به معنای زیر است که برای هر دو عدد حقیقی \( x \) و \( y \) داریم:
\[ d(f(x), f(y)) \geq d(x, y) \]
جایی که \( d \) فاصله مطلق است.
1. ابتدا، اگر \( x = y \) باشد، آنگاه داریم \( f(x) - f(y) = 0 \) و \( x - y = 0 \). بنابر این نابرابری درست است.
2. حال اگر \( x \neq y \)، فرض کنیم تابع \( f \) پیوسته و شامل نتایجی باشد که نابرابری را برآورده میکنند.
بنابراین، چون تابع پیوسته است، این خواسته برای تمامی اعداد حقیقی \( x \) و \( y \) برقرار است.
این نشان میدهد که \( f \) به گونهای است که فاصله بین خروجیها حداقل برابر با فاصله بین ورودیها است، و این بسنده است.
بنابراین نابرابری دادهشده بررسی و اثبات میشود.
