برای حل معادله \(3x^2 + 5x + 2 = 0\) با استفاده از فرمول دلتا، ابتدا باید دلتا (\(\Delta\)) را محاسبه کنیم.
دلتا با فرمول زیر محاسبه می‌شود:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
که در اینجا:
- \(a = 3\)
- \(b = 5\)
- \(c = 2\)
حالا مقادیر \(a\)، \(b\) و \(c\) را در فرمول دلتا قرار می‌دهیم:
\[
\Delta = 5^2 - 4 \times 3 \times 2
\]
\[
\Delta = 25 - 24
\]
\[
\Delta = 1
\]
از آنجایی که \(\Delta > 0\) است، این معادله دو ریشه واقعی و مختلف دارد. حالا می‌توانیم ریشه‌های معادله را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنیم:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\]
حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:
\[
x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \times 3}
\]
\[
x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{6}
\]
حال دو حالت را بررسی می‌کنیم:
1. برای \(x_1\):
\[
x_1 = \frac{-5 + 1}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
\]
2. برای \(x_2\):
\[
x_2 = \frac{-5 - 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1
\]
بنابراین، ریشه‌های معادله \(3x^2 + 5x + 2 = 0\) برابر است با:
\[
x_1 = -\frac{2}{3} \quad و \quad x_2 = -1
\]
