۹. در شکل زیر خطوط AB و DC با هم موازیند. ثابت کنید دو مثلث OAD و OBC با هم برابرند. [شکل: دو خط موازی که پاره‌خط‌های AD و BC همدیگر را در نقطه O قطع کرده‌اند و دو مثلث OAD و OBC تشکیل شده است]

۹. در مثلث قائم‌الزاویه $ABC$، اندازه زاویه $B$ برابر $15^\circ$ است. با رسم میانه و ارتفاع وارد بر وتر نشان دهید اندازه ارتفاع وارد بر وتر $AH = \frac{1}{4} BC$ است. [شکل: مثلث قائم‌الزاویه $ABC$ با زاویه قائمه در $A$، ارتفاع $AH$ و میانه $AM$ بر روی وتر $BC$، با زاویه $15^\circ$ در رأس $B$]

۱۰. در شکل روبرو می‌دانیم $BE = 2DE$. $x$ و $y$ را بیابید. [شکل: دو مثلث چسبیده به هم با رئوس $A$، $B$، $C$ و نقطه $E$ روی پاره‌خط $BC$. زوایا: در رأس $B$: $(2x - 7)$ و $(y + 15)$؛ در رأس $C$: $(x + y)$ و $3a$؛ در رأس $A$: $2a$ و $4b$؛ در پایین مثلث دوم: $6b$ و در زوایه میانی مثلث سمت چپ $2x - 1$]

۱۱. ثابت کنید که ذوزنقه ای که متساوی الساقین باشد، طول قطرها با هم برابر است.

۱۲. ثابت کنید مجموع فاصله های هر نقطه داخل متساوی الاضلاع از سه ضلع برابر ارتفاع آن است. [شکل: مثلث متساوی‌الاضلاع $ABC$ با نقطه $M$ در داخل آن و پاره‌خط‌های عمود از $M$ به سه ضلع]