برای حل این سوال، باید ابتدا حجم کره فلزی و سپس حجم حفره داخلی را محاسبه کنیم و با استفاده از آن جرم بخش فلزی کره را به دست آوریم. سپس جرم نهایی را با افزایش ۴۰ درصد محاسبه کنیم.
1. **حجم کره با شعاع 3 سانتی‌متر**:
\[
V_{\text{کره}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36\pi
\]
2. **حجم کره حفره‌ای با شعاع 2 سانتی‌متر**:
\[
V_{\text{حفره}} = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 8 = \frac{32}{3}\pi
\]
3. **حجم بخش فلزی**:
\[
V_{\text{فلز}} = V_{\text{کره}} - V_{\text{حفره}} = 36\pi - \frac{32}{3}\pi = \frac{108}{3}\pi - \frac{32}{3}\pi = \frac{76}{3}\pi
\]
4. **چگالی و محاسبه جرم**:
\[
\rho = 7.5 \, \text{g/cm}^3
\]
\[
m_{\text{فلز}} = V_{\text{فلز}} \times \rho = \frac{76}{3}\pi \times 7.5 = \frac{570}{3}\pi
\]
5. **افزایش ۴۰ درصدی جرم**:
\[
m_{\text{جدید}} = m_{\text{فلز}} \times 1.4 = \frac{570}{3}\pi \times 1.4 = 266\pi
\]
6. **چگالی جدید**:
برای یافتن چگالی جدید، با توجه به اینکه حجم کره تغییر نمی‌کند، از فرمول چگالی استفاده می‌کنیم:
\[
\rho_{\text{جدید}} = \frac{m_{\text{جدید}}}{V_{\text{کره}}} = \frac{266\pi}{36\pi} = \frac{266}{36} = \frac{133}{18} \, \text{g/cm}^3
\]
بنابراین، پاسخ نهایی چگالی جدید ماده سازنده کره \( \frac{133}{18} \, \text{g/cm}^3 \) است.
