برای نشان دادن اینکه در مثلث متساوی الساقین میانه واحد بر قاعده نیمساز راس مثلث است، ابتدا نگاهی به ویژگیهای مثلث متساوی الساقین و میانهها میاندازیم.
فرض کنید مثلث \( ABC \) متساوی الساقین است که در آن \( AB = AC \) و \( BC \) قاعده مثلث است. میانه به معنی خطی است که از یک رأس به وسط ضلع مقابل میرود. بنابراین، میانه \( AD \) از رأس \( A \) به وسط ضلع \( BC \) میرسد و \( D \) نقطه وسط \( BC \) است.
اکنون میخواهیم نشان دهیم که میانه \( AD \) عمود بر \( BC \) و همچنین در عین حال، نیمساز زاویه \( A \) را نیز میسازد.
### مراحل اثبات:
1. **نقطه وسط**:
از آنجا که \( D \) نقطه وسط \( BC \) است، میتوانیم بنویسیم:
\[ BD = DC \]
2. **مثلثهای متساوی**:
در مثلث \( ABD \) و مثلث \( ACD \):
- \( AB = AC \) (چون مثلث متساوی الساقین است)
- \( AD = AD \) (یکسان)
- \( BD = DC \) (از نقطه وسط)
با استفاده از این سه ویژگی میگوییم که مثلثهای \( ABD \) و \( ACD \) برابرند. بنابراین:
\[ \angle ABD = \angle ACD \]
3. **نیمساز و عمود بودن**:
از آنجا که دو زاویه \( \angle ABD \) و \( \angle ACD \) برابرند، خط \( AD \) میتواند به عنوان نیمساز زاویه \( A \) در نظر گرفته شود.
4. **نتیجهگیری**:
در نتیجه، میانه \( AD \) در مثلث متساوی الساقین \( ABC \) همواره نیمساز زاویه \( A \) و عمود بر قاعده \( BC \) است.
بنابراین، نشان داده شد که در مثلث متساوی الساقین، میانه بر قاعده نیمساز راس مثلث است.
