برای اینکه زاویه داخلی و زاویه خارجی یک ضلعی منظم برابر باشند، باید در نظر بگیریم که:
- زاویه داخلی یک n ضلعی مشخصهی آن n ضلعی است که میتوان با رابطه زیر محاسبه کرد:
\[
\text{زاویه داخلی} = \frac{(n-2) \times 180}{n}
\]
- زاویه خارجی همواره برابر با \(180^\circ - \text{زاویه داخلی}\) خواهد بود. اما از آنجا که مجموع زوایای خارجی یک چندضلعی برابر با \(360^\circ\) است، هر زاویه خارجی را میتوان به شکل زیر محاسبه کرد:
\[
\text{زاویه خارجی} = \frac{360}{n}
\]
حالا اگر بخواهیم که زاویه داخلی با زاویه خارجی برابر باشد، معادله زیر را خواهیم داشت:
\[
\frac{(n-2) \times 180}{n} = \frac{360}{n}
\]
با ضرب هر دو طرف معادله در n، و سادهسازی معادله، خواهیم داشت:
\[
(n-2) \times 180 = 360
\]
سپس طرفین را بر 180 تقسیم میکنیم:
\[
n-2 = 2
\]
و با اضافه کردن 2 به هر طرف معادله:
\[
n = 4
\]
بنابراین، تنها n ضلعی که زاویه داخلی و خارجی آن با هم مساوی هستند، مربع است (یک چهارضلعی منظم).
پاسخ نهایی:
**n=4 (مربع)**
