زیرمجموعه یک مجموعه به مجموعه‌ای گفته می‌شود که شامل برخی یا همه عناصر مجموعه اولیه باشد. به عبارت دیگر، اگر \(A\) یک مجموعه باشد، هر مجموعه‌ای که بتوان آن را از عناصر \(A\) تشکیل داد، زیرمجموعه \(A\) نامیده می‌شود.
به طور کلی اگر \(A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}\) باشد، زیرمجموعه‌ها شامل مجموعه‌های زیر هستند:
1. مجموعه خالی (\(\emptyset\))
2. مجموعه اصلی (خود مجموعه \(A\))
3. تمامی ترکیب‌های ممکن از اعضای \(A\)
برای یک مجموعه با \(n\) عنصر، تعداد زیرمجموعه‌ها برابر است با \(2^n\). به عنوان مثال، اگر مجموعه \(A = \{1, 2\}\) باشد، زیرمجموعه‌های آن عبارتند از:
- \(\emptyset\) (مجموعه خالی)
- \(\{1\}\)
- \(\{2\}\)
- \(\{1, 2\}\) (خود مجموعه)
در اینجا تعداد زیرمجموعه‌ها برابر است با \(2^2 = 4\) تا تمام زیرمجموعه‌ها را به دست آوریم.
بنابراین، زیرمجموعه یک مفهوم مهم در ریاضیات است که به ما کمک می‌کند تا روابط بین مجموعه‌ها را بهتر درک کنیم.
