برای حل این مسئله، ابتدا باید بازهها را تحلیل کنیم:
1. بازه اول: \([2n-4, n+5]\)
2. بازه دوم: \([-n, n]\)
هدف ما پیدا کردن کمترین مقدار طبیعی \( n \) است به طوری که این دو بازه با هم اشتراک داشته باشند.
برای اینکه دو بازه با هم اشتراک داشته باشند، باید نقاط مشترک داشته باشند، یعنی یکی از نقاط بازه اول در بازه دوم باشد یا برعکس.
ابتدا مرز چپ بازه اول را بررسی میکنیم:
\[ 2n-4 \leq n \]
\[ n - 4 \leq 0 \]
\[ n \leq 4 \]
و همچنین مرز راست بازه اول را بررسی میکنیم:
\[ n+5 \geq -n \]
\[ n+5+n \geq 0 \]
\[ 2n + 5 \geq 0 \]
\[ n \geq -\frac{5}{2} \]
چون \( n \) عدد طبیعی است، باید حداقل 1 باشد. نیز بررسی مرز چپ بازه دوم:
مرز چپ بازه دوم:
\[ -n \leq n+5 \]
\[ -2n \leq 5 \]
\[ n \geq -\frac{5}{2} \]
باز هم عدد طبیعی 1 حداقل مقدار است. با در نظر گرفتن روابط بالا، مشخص میشود که با \( n \geq 4 \) دو بازه با هم اشتراک دارند.
بنابراین، کمترین مقدار طبیعی \( n \) که این شرط را برآورده میکند، 4 است.
مرکز بازه اول: \(\frac{2n-4 + n+5}{2} = \frac{3n + 1}{2}\)؛ برای \( n = 4\)، مرکز بازه برابر با \(\frac{13}{2} = 6.5\) خواهد بود.
پس مرکز بازه همان 6.5 است.
