برای بررسی پیوستگی تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 2 \)، باید شرایط زیر را بررسی کنیم:
1. تابع در نقطه \( x = 2 \) تعریف شده باشد: مقدار تابع در نقطه \( x = 2 \) برابر \( a \) است.
2. حد تابع وقتی \( x \) به 2 نزدیک می‌شود، وجود داشته باشد و برابر مقدار تابع باشد.
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2}
\]
برای محاسبه این حد، می‌توان صورت را هم‌مخرج کردن کرد:
\[
\frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2} \times \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{(x+2) - 4}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2}
\]
حالا حد را محاسبه می‌کنیم:
\[
\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{4}
\]
3. حالا حد از راست را محاسبه می‌کنیم:
\[
\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} x + 1 = 3
\]
برای پیوسته بودن تابع \( f(x) \)، باید دو شرط بالا با مقدار تابع در این نقطه برابر باشند، یعنی باید:
\[
a = 3
\]
بنابراین مقدار \( a \) برای این که تابع در \( x = 2 \) پیوسته باشد، برابر 3 است.
