به ازای کدام مقدار a تابع با ضابطه در نقطه ای به طول دو پیوسته است؟

برای بررسی پیوستگی تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 2 \)، باید شرایط زیر را بررسی کنیم: 1. تابع در نقطه \( x = 2 \) تعریف شده باشد: مقدار تابع در نقطه \( x = 2 \) برابر \( a \) است. 2. حد تابع وقتی \( x \) به 2 نزدیک می‌شود، وجود داشته باشد و برابر مقدار تابع باشد. \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2} \] برای محاسبه این حد، می‌توان صورت را هم‌مخرج کردن کرد: \[ \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2} \times \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{(x+2) - 4}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} \] حالا حد را محاسبه می‌کنیم: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{4} \] 3. حالا حد از راست را محاسبه می‌کنیم: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} x + 1 = 3 \] برای پیوسته بودن تابع \( f(x) \)، باید دو شرط بالا با مقدار تابع در این نقطه برابر باشند، یعنی باید: \[ a = 3 \] بنابراین مقدار \( a \) برای این که تابع در \( x = 2 \) پیوسته باشد، برابر 3 است.