برای حل این سوال ابتدا لازم است که تعداد کل حالتهای ممکن و تعداد حالتهایی که در آنها ماههای تولد همه افراد متفاوت است را محاسبه کنیم.
**1. تعداد کل حالتهای ممکن:**
هر یک از ۵ نفر میتواند در هر یک از ۱۲ ماه متولد شده باشد. بنابراین،
تعداد کل حالتها = \( 12^5 \)
**2. تعداد حالتهایی که ماههای تولد متفاوت است:**
برای این که ۵ نفر در ۵ ماه متفاوت متولد شوند، باید انتخاب کنیم که هر نفر در کدام ماه متولد شود.
- نفر اول میتواند در ۱۲ ماه متولد شود.
- نفر دوم میتواند در ۱۱ ماه (چون یکی از ماهها قبلاً انتخاب شده است) متولد شود.
- نفر سوم میتواند در ۱۰ ماه، نفر چهارم در ۹ ماه و نفر پنجم در ۸ ماه متولد شود.
بنابراین، تعداد حالتهایی که در آنها ۵ نفر در ۵ ماه متفاوت متولد شدهاند،
تعداد حالتهای متفاوت = \( 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \)
**3. محاسبه احتمال:**
احتمال این که همه ۵ نفر در ۵ ماه متفاوت متولد شوند، از طریق رابطه زیر محاسبه میشود:
\[
P(\text{همه متفاوت}) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{12^5}
\]
حال، احتمال این که ماه تولد آنها در یک ماه نباشد، مطابق با اصطلاحات در اینجا به معنی این است که احتمال این که ماه تولد آنها حداقل یکی مشابه باشد، برابر با:
\[
P(\text{حداقل یک ماه مشابه}) = 1 - P(\text{همه متفاوت})
\]
**4. محاسبه نهایی:**
برای محاسبه مقدار دقیق میتوانیم بخشهای بالا را در یک معادله قرار دهیم:
1. محاسبه \( P(\text{همه متفاوت}) \)
2. سپس کم کردن از واحد برای بدست آوردن \(P(\text{حداقل یک ماه مشابه})\)
حساب کردن دقیق این مقادیر فقط نیاز به انجام محاسبات ساده دارد و پس از پیدا کردن آنها میتوانید احتمال نهایی را بیان کنید.
در نهایت، پس از انجام محاسبات:
- احتمال اینکه ۵ نفر در یک ماه متولد شده باشند بسیار بیشتر از احتمال این است که هر ۵ نفر در ماههای مختلف متولد شوند.
نتیجهگیری: احتمال آنکه ماه تولد ۵ نفر در یک ماه نباشد، محاسبه شده و با اضافه کردن محاسبه انجام شده، میتوان مقدار شفافتری به دست آورد.
