برای اثبات ادعای مطرح شده، از قضیه‌ی مقدار میانگین انتگرال استفاده می‌کنیم.
فرض کنید تابع \( f \) روی بازه \([a, b]\) پیوسته باشد. می‌خواهیم نشان دهیم که:
\[
f(x_1) + 2f(x_2) + 3f(x_3) + \cdots + n f(x_n) = \frac{n(n+1)}{2} f(c)
\]
برای نقطه‌ای مانند \( c \) از بازه‌ی \([a, b]\).
### اثبات:
1. **انتگرال مجموع توابع با ضرایب:**
ابتدا به این نقاط توجه کنید که \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) نقاط درون بازه‌ی \([a, b]\) هستند. به فرمول داده شده توجه کنید، ضریب جمع‌شده‌ها به شکل \( 1, 2, 3, \ldots, n \) است.
2. **محاسبه انتگرال از جمع ضرایب:**
فرض کنید \( S = f(x_1) + 2f(x_2) + 3f(x_3) + \cdots + n f(x_n) \).
این جمع با توجه به قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها به صورت زیر بیان می‌شود:
\[
\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a)
\]
اما در اینجا، به جای فاصله و وزن برابر، باید ضرایب را در نظر بگیریم.
3. **ضریب مجموع و معادل‌سازی انتگرال:**
می‌دانیم برای سلسله مراتب اعداد:
\[
1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
رابطه بالا برای تمامی ضرایب در فرمول شما صادق است. هر کدام از ضرائب ضرب در \( f \) در فرم اصلی قرار دارند.
بنابراین نتیجه انتگرال متوسط این ضرایب را به کاربرده و نهایتاً داریم:
\[
S = \frac{n(n+1)}{2} f(c)
\]
که تساوی داده شده است.
این نشان می‌دهد که مجموع داده شده با ضریبی از تابع در نقطه‌ای \( c \) برابر است.
