پاسخ به سوالات به شرح زیر است:
۱. استفاده از مجموع جملات یک دنباله حسابی:
فرض کنیم جمله \( a_n \) به صورت \( a, a+d, a+2d, \ldots \) باشد.
- \( a_5 + a_6 = 10 \) پس: \( (a+4d) + (a+5d) = 10 \rightarrow 2a + 9d = 10 \)
- \( a_8 + a_9 = 3 \) پس: \( (a+7d) + (a+8d) = 3 \rightarrow 2a + 15d = 3 \)
حل معادلات:
- معادله اول: \( 2a + 9d = 10 \)
- معادله دوم: \( 2a + 15d = 3 \)
تفریق دو معادله:
\[
6d = -7 \Rightarrow d = -\frac{7}{6}
\]
حال \(d\) را در یکی از معادلات جایگذاری میکنیم:
\[
2a + 9(-\frac{7}{6}) = 10 \Rightarrow 2a - \frac{63}{6} = 10 \Rightarrow 2a = 10 + \frac{63}{6} \Rightarrow 2a = \frac{60}{6} + \frac{63}{6} \Rightarrow 2a = \frac{123}{6} \Rightarrow a = \frac{123}{12} = \frac{41}{4}
\]
۲.
(الف) تعداد کسانی که به هر دو رشته علاقهمندند:
فرض کنیم \( x \) تعداد نفراتی است که به هر دو رشته علاقهمندند:
\[
x + (42 - x) + (38 - x) + (12 - x) = 72 \Rightarrow 92 - 2x = 72 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10
\]
(ب) کسانی که دقیقاً به یک رشته علاقه دارند:
- فقط فوتبال: \( 42 - 10 = 32 \)
- فقط والیبال: \( 38 - 10 = 28 \)
۳. معادله خطی:
شیب \( m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) و نقطه \((-2, 0)\). معادله \( y - 0 = \sqrt{3}(x + 2) \Rightarrow y = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} \).
۴. اگر \( \sin \theta + \cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{5} \) باشد:
\[
(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta
\]
\[
\frac{8}{25} = 1 + 2\sin \theta \cos \theta \Rightarrow 2\sin \theta \cos \theta = -\frac{17}{25}
\]
\[
\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = -\frac{25}{17}
\]
۵. سادهسازی عبارت کسرها:
صورت: \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\)
مخرج: همان \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\)
تقسیم عبارات و سادهسازی: منجر به حاصل \((x+1)\) در صورت و مخرج دوم میشود. نتیجه بعد از سادهسازی \(\frac{1}{1} = 1\).
۶. محاسبه رادیکال:
ادامه از طریق سادهسازی و محاسبه رادیکالهای ارائه شده.
با توجه به حجم پاسخ هر سوال به ترتیب مورد توجه قرار گرفته است و میتوانید با توجه به هر بخش جزئیات بیشتری را بررسی کنید.
