۱- در مسئله زیر، فرض و حکم را بنویسید و سپس استدلال درستی برای آن بنویسید. مسئله: در شکل مقابل، پاره‌خط $AC$ نیمساز زاویه $A$ است و اضلاع $AB=AD$ می‌باشد. ثابت کنید مثلث‌های $ABC$ و $ADC$ هم‌نهشت‌اند. [شکل: چهارضلعی $ABCD$ که قطر $AC$ آن رسم شده و دو مثلث $ABC$ و $ADC$ را تشکیل داده است. در این شکل $AB=AD$ و $AC$ نیمساز زاویه $A$ است به طوری که $A_1 = A_2$.]

۲- در مثلث $ABC$، $D$ وسط $BC$ است و $AD$ میانه است. آیا می‌توان نتیجه گرفت که نیمساز زاویه $B$ نیز میانه ضلع مقابل آن است؟ به عبارتی، آیا می‌توان خاصیت اثبات شده برای نیمساز $A$ را به نیمساز دیگر تعمیم داد؟

۳- با استدلال زیر به نتیجه‌گیری کرد که قطر $AC$ از مربع $ABCD$ نیمساز زاویه‌های $A$ و $C$ است. چون در مربع همه ضلع‌ها با هم برابرند، بنابراین $A_1 = A_2$ و $C_1 = C_2$ و لذا $AC$ متناظر با هم برابرند. پس دو مثلث $ABC$ و $ADC$ به حالت «ض ض ض» هم‌نهشت‌اند. آیا می‌توان با استدلالی مشابه، این خاصیت را به قطر دیگر تعمیم داد و گفت هر قطر مربع، نیمساز زاویه‌های دو سر آن قطر است؟ به چه شرایطی با هم‌نهشتی برای قطر $AC$ نیاز داریم؟