برای حل این مسأله، ابتدا باید نرخ کار انجام شده توسط هر نفر را محاسبه کنیم. فرض کنیم "بابک" کاری را در \( x \) روز و "پرویز" در ۷ روز به تنهایی انجام میدهند.
نرخ کار بابک در هر روز برابر است با \(\frac{1}{x}\) و نرخ کار پرویز برابر است با \(\frac{1}{7}\).
حال اگر با هم کار کنند، نرخ کار ترکیبی آنها جمع میشود:
\[
\text{نرخِ کارِ با هم} = \frac{1}{x} + \frac{1}{7}
\]
ما به دنبال زمانی هستیم که هر دو نفر بتوانند کار را با هم انجام دهند که برابر است با معکوس نرخ کار با هم:
\[
\text{زمان کل} = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{7}}
\]
با سادهسازی عبارت جبری، داریم:
\[
\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{7}} = \frac{1}{\frac{7 + x}{7x}} = \frac{7x}{7 + x}
\]
بنابراین زمان انجام کار توسط هر دو نفر با هم برابر است با:
\[
\frac{7x}{7 + x}
\]
این پاسخ به ما نشان میدهد که هر چه \( x \) کوچکتر باشد (بابک سریعتر کار کند)، زمان کلی کمتر میشود.
