سؤال 22: تمام زیرمجموعههای مجموعه \( A = \{\{\}\} \) را بنویسید.
پاسخ تشریحی:
مجموعه \( A = \{\{\}\} \) فقط یک عضو دارد که آن هم خودش یک مجموعه تهی (\(\{\}\)) است. برای پیدا کردن زیرمجموعههای این مجموعه، باید تمام ترکیبهای ممکن از اعضای آن را در نظر بگیریم. زیرمجموعههای یک مجموعه با تعداد \( n \)، برابر با \( 2^n \) است. در اینجا \( n = 1 \) است، پس دو زیرمجموعه داریم:
1. مجموعه تهی: \(\{\}\)
2. خود مجموعه: \(\{\{\}\}\)
پس زیرمجموعههای مجموعه \( A = \{\{\}\} \) به صورت زیر هستند:
1. \(\{\}\)
2. \(\{\{\}\}\)
سؤال 23: ثابت کنید در یک مثلث مجموع زاویههای داخلی برابر ۱۸۰ درجه است.
پاسخ تشریحی:
یک مثلث سه زاویه دارد و باید نشان دهیم که مجموع این زاویهها برابر ۱۸۰ درجه است. فرض کنید مثلث \( ABC \) باشد.
1. خطی به موازات یکی از اضلاع مثلث (مثلاً \( BC \) یا \( AC \)) و از رأس مقابل مثل \( A \) رسم کنید. این خط موازی را فرضاً \( DE \) بنامیم که از نقطه \( A \) میگذرد.
2. زاویههای داخلی مثلث \( \angle ABC \)، \(\angle BAC \) و \(\angle ACB\) با استفاده از خواص موازیبودن به زاویههای مساوی تقسیم میشوند. بدین صورت: زاویه \( \angle BAC \) هم راستا با زاویههای خارجی معادل است و هر دو برابر با زاویههای پایهای هستند که با خط موازی \( DE \) تشکیل میشوند.
3. در نتیجه، مجموع زاویههای \( \angle BAC \)، \( \angle ABC \) و \( \angle ACB \) برابر با ۱۸۰ درجه است.
به این طریق، ثابت شد که در هر مثلثی، مجموع زاویههای داخلی همیشه ۱۸۰ درجه است.
