برای حل این مسئله، باید موقعیت بار q3 را به گونهای انتخاب کنیم که نیروی وارد بر آن از دو بار q1 و q2 با هم برابر و در جهت مخالف باشند.
### مراحل حل:
1. **تعریف بارها:**
- \( q_1 = 2 \, \mu C \)
- \( q_2 = 8 \, \mu C \)
- فاصله بین q1 و q2 برابر با 30 سانتیمتر است که برابر با 0.3 متر است.
2. **موقعیت بار q3:**
فرض میکنیم بار q3 در فاصله \( x \) از بار \( q_1 \) قرار دارد. بنابراین بار \( q3 \) در فاصله \( 30 - x \) از بار \( q_2 \) قرار خواهد داشت.
3. **محاسبه نیروها:**
نیروی الکتریکی بین دو بار را میتوان با فرمول کولن محاسبه کرد:
\[
F = k \frac{|q_1 \cdot q_3|}{r^2}
\]
که در اینجا \( k \) ثابت کولن (معادل \( 8.99 \times 10^9 \, N\,m^2/C^2 \))، \( r \) فاصله بین بارها و \( q_3 \) بار سوم است.
4. **شرط برآیند نیروها:**
برای اینکه برآیند نیروها بر روی q3 صفر باشد:
\[
F_{q_1 \, \text{on} \, q_3} = F_{q_2 \, \text{on} \, q_3}
\]
بهعبارت دیگر:
\[
k \frac{|q_1 \cdot q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 \cdot q_3|}{(30 - x)^2}
\]
5. **سادهسازی معادله:**
\[
\frac{2 \cdot |q_3|}{x^2} = \frac{8 \cdot |q_3|}{(30 - x)^2}
\]
میتوانیم \( |q_3| \) را حذف کنیم (مشروط بر اینکه q3 صفر نباشد):
\[
\frac{2}{x^2} = \frac{8}{(30 - x)^2}
\]
6. **حل معادله:**
ضرب هر طرف معادله در \( 8x^2(30 - x)^2 \):
\[
2(30 - x)^2 = 8x^2
\]
که میشود:
\[
2(900 - 60x + x^2) = 8x^2
\]
که این را میتوان به شکل زیر نوشت:
\[
1800 - 120x + 2x^2 = 8x^2
\]
\[
0 = 6x^2 - 120x + 1800
\]
سادهکردن معادله:
\[
0 = x^2 - 20x + 300
\]
### محاسبه ریشهها:
با استفاده از فرمول ریشهها:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا:
- \( a = 1 \)
- \( b = -20 \)
- \( c = 300 \)
محاسبه:
\[
x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1200}}{2}
\]
\[
x = \frac{20 \pm \sqrt{-800}}{2}
\]
پس این معادله ریشههای مختلط دارد و در نتیجه q3 باید خارج از منطقه بین q1 و q2 قرار گیرد.
### نتیجهگیری:
بار \( q3 \) باید در جایی قرار گیرد که نیروی ناشی از q1 و q2 با هم برابر باشد. با توجه به قدرت بارها، باید بار \( q3 \) را خارج از منطقه بین q1 و q2 و به سمت بار قویتر \( q2 \) قرار دهیم.
به طور دقیق، با توجه به این که نیروی بار قویتر باید برابر بار ضعیفتر باشد، میتوانیم بار \( q3 \) را در سمت بار \( q2 \) قرار دهیم، به طوری که فاصله آن از q2 بزرگتر از فاصله q3 از q1 باشد.
این نتیجه به ما میگوید که بار های q3 باید در فاصلهای فاصلهای بیشتر از \( 30 \,cm \) از بار \( q1 \) قرار گیرد.
