در شکل مقابل می دانیم $BE \parallel DF$ و $BC \parallel DE$، به کمک قضیه تالس در مثلث های $ADE$ و $ADF$ و مقایسه تناسب ها با یکدیگر، ثابت کنید: $AE^{2} = AC \cdot AF$ به عبارت دیگر واسطه هندسی بین است. [شکل: مثلث ABC، پاره خط‌های موازی، نقاط E و F روی امتداد ضلع، علائم تساوی روی اضلاع CE=EB و EB=EF]

در شکل روبرو $\hat{A}_{1} = B$، $AC = 4$، $BD = 6$، طول $BC$ را به دست آورید. [شکل: مثلث ABC، پاره خط AD که D روی ضلع BC قرار دارد]

در متوازی الاضلاع $ABCD$، $M$ و $N$ وسط اضلاع $AD$ و $BC$ می باشند. اولاً چرا $BM \parallel DN$ ثانیاً ثابت کنید $AP = PQ = QC$ [شکل: متوازی الاضلاع ABCD، قطرهای DN و BM، نقاط تقاطع P و Q روی قطر AC]