برای حل این سوال، ابتدا عبارت داخل رادیکال را بررسی میکنیم:
\[ A = \sqrt{1 + 2\sqrt{\cos^6\alpha - \cos^4\alpha}} \]
ابتدا سعی میکنیم عبارت داخل رادیکال یعنی \( \cos^6 \alpha - \cos^4 \alpha \) را سادهسازی کنیم:
\[ \cos^6 \alpha - \cos^4 \alpha = \cos^4 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) \]
میدانیم که \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \)، پس:
\[ \cos^4 \alpha (-\sin^2 \alpha) = -\cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \]
بنابراین رادیکال دوم بهصورت زیر میشود:
\[ 2\sqrt{-\cos^4 \alpha \sin^2 \alpha} = 2|\cos^2 \alpha \sin \alpha| \]
عبارت اصلی \( A \) بهصورت زیر میشود:
\[ A = \sqrt{1 + 2|\cos^2 \alpha \sin \alpha|} \]
از آنجایی که زاویه در ناحیه دوم قرار دارد یعنی \( \alpha \) بین \( 90^\circ \) و \( 180^\circ \) است، علامتهای سینوس و کسینوس به ترتیب مثبت و منفی هستند. لذا:
\[ \cos \alpha = -|\cos \alpha| \]
\[ \sin \alpha = |\sin \alpha| \]
بنابراین سادهسازی به صورت زیر انجام میشود:
\[ A = \sin \alpha - \cos \alpha \]
پس گزینه درست **گزینه 2** است.
