لطفا حل تشریحی سریع جواب میخوام

برای اینکه تابع \( f(x) = \sqrt{(m-3)x^2 + 2mx - n} \) در بازه \([-2, +\infty)\) تعریف شده باشد، باید عبارت زیر رادیکال برای همه‌ی \( x \geq -2 \) بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد: \[ (m-3)x^2 + 2mx - n \geq 0 \] این عبارت یک تابع درجه دو است و باید دلخواه \( x \) در بازه داده شده را پوشش دهد. اگر بخواهیم این تابع از \(-2\) شروع به تعریف باشد، باید نقطه‌های از آن صفر باشد و به سمت بینهایت مثبت ادامه یابد. برای یافتن شرایط بر روی ضرایب، ابتدا معادله را از نظر عددی که در بازه‌ی معین قابل قبول قرار دارد بررسی می‌کنیم: 1. برای \( x = -2 \) داریم: \[ (m-3)(-2)^2 + 2m(-2) - n \geq 0 \] \[ 4(m-3) - 4m - n \geq 0 \] \[ 4m - 12 - 4m - n \geq 0 \] \[ -12 - n \geq 0 \implies n \