برای حل معادله داده شده باید هر دو طرف معادله را با دقت محاسبه کنیم تا مقدار \( X \) را پیدا کنیم:
معادله داده شده به این صورت است:
\[
31^{\frac{3}{28}x} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[4]{2}}}}
\]
سمت راست معادله:
1. ابتدا باید رادیکال ها را ساده سازی کنیم.
2. توجه کنید که:
\[
\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{2}}} = 2^{\frac{1}{2^3}} = 2^{\frac{1}{8}}
\]
و
\[
\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}
\]
بنابراین:
\[
2^{\frac{1}{8}} \times 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8} + \frac{2}{8}} = 2^{\frac{3}{8}}
\]
حالا داریم:
\[
31^{\frac{3}{28}x} = 2^{\frac{3}{8}}
\]
برای پیدا کردن \( X \) باید پایههای \( 31 \) و \( 2 \) را با هم برابر کنیم یا سعی کنیم هر دو طرف را در یک تعادل قرار دهیم که در این مرحله با سادگی قابل محاسبه نیست.
چون \((4)\) یکی از گزینهها \( \frac{1}{4} \) است، امتحان کنیم:
جایگذاری \( x = \frac{1}{4} \) در سمت چپ:
\[
31^{\frac{3}{28} \times \frac{1}{4}} = 31^{\frac{3}{112}}
\]
مقایسه با سمت راست که \( 2^{\frac{3}{8}} \) است در این سطح مشکل است. بنابراین بهتر است گزینهها را امتحان کرد تا نزدیکترین مقدار را بررسی کنیم.
لذا انتخاب صحیح نمیتواند بسیار واضح باشد مگر اینکه اطلاعات اضافی یا زمینهای برای تغییر پایهها داشته باشیم.
بدیهی است به دلیل پیچیدگی این مشکل، از روش مستقیم محاسباتی استفاده شد. در این سطح نمیتوان به سادگی به کلیت سوال دست یافت بدون چارچوب پایههای صحیح.
پس پاسخ ممکن است اشتباه محاسباتی داشته باشد، اما گزینه \( \frac{1}{4} \) نزدیک است به صورتی که تحت تقریب منطقی است.
