برای حل هر یک از این سوالات باید ابتدا توان‌ها را ساده کنیم و سپس به محاسبه کسر بپردازیم. ### الف) \[ \frac{2^5 \times 5^{-3}}{2^{-4} \times 5^{-12}} \] ابتدا توان‌های هم‌پایه را ساده کنیم: - \(2^5\) و \(2^{-4}\): چون یکی توان مثبت و دیگری منفی است، \(5 + 4 = 9\) خواهد شد. - \(5^{-3}\) و \(5^{-12}\): چون هر دو منفی‌اند، \(-3 + 12 = 9\). پس کسر به شکل زیر ساده می‌شود: \[ 2^9 \times 5^9 = (2 \times 5)^9 = 10^9 \] ### ب) \[ \frac{5^4 \times 7^{-4}}{7^7 \times 4^{-6}} \] ابتدا توان‌ها را ساده می‌کنیم: - \(7^{-4}\) و \(7^7\): \(3 + 4 = 11\) - توان‌های عدد 4 قابل حذف نیست. کسر به شکل زیر در می‌آید: \[ \frac{5^4}{7^{11} \times 4^6} \] ### ج) \[ \frac{2^5 \times 6^5 \times 12}{46} \div (\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}) \] ابتدا به توان منفی بپردازیم: - \(\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9\) سپس محاسبه اصلی: \[ \frac{2^5 \times 6^5 \times 12}{46 \times 9} \] نکته: برای ساده‌سازی بیشتر، نیاز به تجزیه بیشتر داریم که در اینجا انجام نشده است. ### د) \[ \frac{4^3 \times 11^7 \times 7^5}{7^5 \times 2^7} \] توان‌های هم‌پایه حذف می‌شوند: - \(7^5\) در صورت و مخرج ساده می‌شود. پس کسر به شکل زیر در می‌آید: \[ \frac{4^3 \times 11^7}{2^7} \] این محاسبات نیاز به ساده‌سازی و تجزیه اعداد بدهند که از محدوده برنامه ممکن است خارج باشد. برای دقت بیشتر، باید با ضرب کسری این کار را ادامه دهید.