**جواب سوال اول:**
- دنباله اول: \(1, 4, 7, 10, 13, \ldots\)
این دنباله، یک دنباله عددی با اختلاف مشترک \(3\) است و به صورت زیر می‌توان فرمول آن را نوشت:
\[
a_n = 1 + (n-1) \times 3 = 3n - 2
\]
سه عدد بعدی: \(16, 19, 22\)
- دنباله دوم: \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\)
این دنباله، دنباله مربعات کامل است. می‌توان فرمول آن را به صورت زیر نوشت:
\[
a_n = n^2
\]
سه عدد بعدی: \(36, 49, 64\)
- دنباله سوم: \(1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots\)
این دنباله، دنباله فیبوناچی است که هر عدد حاصل‌جمع دو عدد قبلی است:
\[
a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
\]
سه عدد بعدی: \(13, 21, 34\)
**جواب سوال دوم:**
برای محاسبه رنگ مورد نیاز برای پوشش استخر به مساحت ۱۶ متر در ۴ متر و عمق ۴ متر:
- دیواره‌ها: \(2 \times (16 \times 4) + 2 \times (4 \times 4) = 128\) متر مربع
- کف استخر: \(16 \times 4 = 64\) متر مربع
مجموع مساحت برای رنگ‌آمیزی: \(128 + 64 = 192\) متر مربع
مقدار رنگ مورد نیاز: \(\frac{192}{3} = 64\) کیلوگرم
**جواب سوال سوم:**
توپی از ارتفاع \(81\) متر به زمین می‌خورد و پرش‌های بعدی ارتفاع کمتری دارند (فرض کنید پرش اول نصف ارتفاع قبلی باشد). مجموع مسافت طی شده را به صورت زیر حساب کنید:
فرض کنید ارتفاع بعد از هر ضربه به نصف کاهش یابد. پس از سه بار تماس با سطح، مسافت طی شده به صورت زیر خواهد بود:
-\(81 + 40.5 + 40.5\) (صدای پایین آمدن و دوباره بالا رفتن توپ برای تماس بعدی)
- مجموع مسافت: \(81 + 40.5 + 20.25 + 20.25 + 10.125 + 10.125 = 182.25\) متر
**جواب سوال چهارم:**
صفحات کل کتاب \(x\) است. مدت زمان مطالعه: ۸ ساعت
معادله: \(\frac{8}{120 - 8} = \frac{7}{x}\)
حل معادله برای یافتن \(x\):
\[\frac{8}{112} = \frac{7}{x} \rightarrow x = 7 \times \frac{112}{8} = 98\]
یعنی در هر ساعت به میزان \(14\) صفحه مطالعه کرده است.
**جواب سوال پنجم:**
اختلاف مجموع اولین پنج عدد طبیعی زوج: \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30\)
اختلاف مجموع اولین پنج عدد طبیعی فرد: \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25\)
تفاوت این دو مجموع: \(30 - 25 = 5\)
اعداد مفروض:
-\(30 - 0\) = \(30\)
-\(30 - 20\) = \(10\)
حاصل: تفاوت=\(30 - 25\) = \(5\)
